Đề thi thử — Đề Giải tích 2 (Lớp Chất lượng cao CLC) - Mã đề 2303

1. Câu 1

   (L.O.1) Calculate the average value of $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$, where $-1 \leq x \leq 2$.

   A

   0.4581

   B

   -0.0333

   C

   0.1527

   D

   -0.05

   查看答案

   答案：C

   Giá trị trung bình của hàm trên đoạn $[-1,2]$ là $\frac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^{2}\frac{x}{x^2+1}dx = \frac{1}{3}\int_{-1}^{2}\frac{x}{x^2+1}dx$.

   Nguyên hàm của $\frac{x}{x^2+1}$ là $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$.

   Tính tích phân từ $-1$ đến $2$: $\frac{1}{2}[\ln(5)-\ln(2)] = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{5}{2}\right)$.

   Suy ra giá trị trung bình: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\ln\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{6}\ln(2.5) \approx 0.1527$.

   Các phương án A, B, D sai vì không bằng kết quả tích phân chia cho độ dài khoảng; B và D cho giá trị âm trong khi tích phân trên khoảng này dương, A cho giá trị lớn hơn nhiều so với kết quả đúng.

2. Câu 2

   (L.O.2) Let $f(x)=10\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{3}}\right)$. Find $f^{-1}(9)$.

   A

   $3 \ln (10)$

   B

   $-3 \ln \left(\frac{9}{10}\right)$

   C

   $-\ln \left(\frac{11}{10}\right)$

   D

   $3 \ln \left(\frac{9}{10}\right)$

   查看答案

   答案：A

   Hiểu biến $t$ trong công thức chính là biến $x$ do đề in nhầm ký hiệu, tức $f(x)=10(1-\mathrm{e}^{-x/3})$.

   Giải $f(x)=9$: $10(1-\mathrm{e}^{-x/3})=9$, suy ra $1-\mathrm{e}^{-x/3}=\frac{9}{10}$ nên $\mathrm{e}^{-x/3}=\frac{1}{10}$.

   Lấy ln hai vế: $-\frac{x}{3}=\ln\left(\frac{1}{10}\right)=-\ln 10$, do đó $x=3\ln 10$.

   Vậy $f^{-1}(9)=3\ln 10$, đúng phương án A. Các phương án B, C, D không thỏa phương trình vì đều chứa $\ln$ của các tỉ số khác hoặc sai dấu.

3. Câu 3

   (L.O.1) Let $f(x)$ be a function satisfying $f(6.3)=6.7, f^{\prime}(6.3)=5$. Using the linear approximation to estimate the value of $f(5.985)$, we obtain

   A

   5.1250

   B

   2.8895

   C

   8.275

   D

   7.1105

   查看答案

   答案：A

   Công thức xấp xỉ tuyến tính: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$.

   Chọn $a=6.3$, $x=5.985$, ta có $x-a=5.985-6.3=-0.315$.

   Suy ra $f(5.985)\approx f(6.3)+f'(6.3)(5.985-6.3)=6.7+5(-0.315)=6.7-1.575=5.125$.

   Vậy kết quả là $5.1250$, các đáp án B, C, D không bằng giá trị này.

4. Câu 4

   The shape of a fountain pond is shown in the figure below. Assuming the thickness of the walls and bottom of the pond is neglected, the volume of the pond is equal to the volume of the solid of revolution generated by revolving the region bounded by the curve $y=\frac{-(x+2)^{3}}{2}+\frac{1}{2}, 2$ coordinate axes and the line $y=1$ about $y$-axis. Given that the units on the coordinate axes are in meters (m), the volume of the pond is equal to

   A

   $13.8230 \mathrm{~m}^{3}$

   B

   $16.9646 \mathrm{~m}^{3}$

   C

   $7.6296 \mathrm{~m}^{3}$

   D

   $14.4513 \mathrm{~m}^{3}$

   查看答案

   答案：D

   Đường cong $y=-\frac{(x+2)^{3}}{2}+\frac{1}{2}$ cho $(x+2)^{3}=1-2y$. Với $y=1$ ta được $x=-3$, với $y=0$ ta được $x=-1$.

   Miền quay quanh trục $y$ nằm ở $x\le 0$: với $x\in[-3,-1]$ miền cao từ đường cong tới $y=1$; với $x\in[-1,0]$ miền cao từ $y=0$ tới $y=1$.

   Dùng phương pháp vỏ trụ:
   $V=2\pi\int_{-3}^{-1}(-x)\left(1-y(x)\right)dx+2\pi\int_{-1}^{0}(-x)\,dx$.

   Đặt $u=x+2$: $\int_{-3}^{-1}(-x)(1-y)\,dx=\int_{-1}^{1}(2-u)\cdot\frac{1+u^{3}}{2}\,du=1.8$, và $\int_{-1}^{0}(-x)\,dx=\frac{1}{2}$.

   Suy ra $V=2\pi(1.8)+2\pi\cdot\frac{1}{2}=4.6\pi\approx14.4513\ \mathrm{m^{3}}$. Vậy chọn D.

5. Câu 5

   (L.O.1) Let $f(x)=\int_{3}^{5 x+4} t^{3} \sqrt{3+t^{2}} \mathrm{~d} t$ be a function. Find $f^{\prime}(-1)$.

   A

   2

   B

   -10

   C

   0

   D

   -2

   查看答案

   答案：B

   Đặt $g(t)=t^3\sqrt{3+t^2}$. Theo định lý Leibniz, $f'(x)=g(5x+4)\cdot(5x+4)'=5(5x+4)^3\sqrt{3+(5x+4)^2}$.

   Tại $x=-1$, cận trên là $5(-1)+4=-1$.

   Do đó $f'(-1)=5(-1)^3\sqrt{3+(-1)^2}=5\cdot(-1)\cdot2=-10$.

   Vậy đáp án đúng là B; các phương án A, C, D sai vì không bằng $-10$.

完成全部 22 道题即可评分并查看详细解析。