Đề thi thử — Đề Giải tích 2 (Lớp Chất lượng cao CLC) - Mã đề 2303

1. Câu 1

   (L.O.1) Calculate the average value of $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$, where $-1 \leq x \leq 2$.

   A

   0.4581

   B

   -0.0333

   C

   0.1527

   D

   -0.05

   Xem đáp án

   Đáp án: C

   Giá trị trung bình của hàm trên đoạn $[-1,2]$ là $\frac{1}{2-(-1)}\int_{-1}^{2}\frac{x}{x^2+1}dx = \frac{1}{3}\int_{-1}^{2}\frac{x}{x^2+1}dx$.

   Nguyên hàm của $\frac{x}{x^2+1}$ là $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$.

   Tính tích phân từ $-1$ đến $2$: $\frac{1}{2}[\ln(5)-\ln(2)] = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{5}{2}\right)$.

   Suy ra giá trị trung bình: $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\ln\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{6}\ln(2.5) \approx 0.1527$.

   Các phương án A, B, D sai vì không bằng kết quả tích phân chia cho độ dài khoảng; B và D cho giá trị âm trong khi tích phân trên khoảng này dương, A cho giá trị lớn hơn nhiều so với kết quả đúng.

2. Câu 2

   (L.O.2) Let $f(x)=10\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{3}}\right)$. Find $f^{-1}(9)$.

   A

   $3 \ln (10)$

   B

   $-3 \ln \left(\frac{9}{10}\right)$

   C

   $-\ln \left(\frac{11}{10}\right)$

   D

   $3 \ln \left(\frac{9}{10}\right)$

   Xem đáp án

   Đáp án: A

   Hiểu biến $t$ trong công thức chính là biến $x$ do đề in nhầm ký hiệu, tức $f(x)=10(1-\mathrm{e}^{-x/3})$.

   Giải $f(x)=9$: $10(1-\mathrm{e}^{-x/3})=9$, suy ra $1-\mathrm{e}^{-x/3}=\frac{9}{10}$ nên $\mathrm{e}^{-x/3}=\frac{1}{10}$.

   Lấy ln hai vế: $-\frac{x}{3}=\ln\left(\frac{1}{10}\right)=-\ln 10$, do đó $x=3\ln 10$.

   Vậy $f^{-1}(9)=3\ln 10$, đúng phương án A. Các phương án B, C, D không thỏa phương trình vì đều chứa $\ln$ của các tỉ số khác hoặc sai dấu.

3. Câu 3

   (L.O.1) Let $f(x)$ be a function satisfying $f(6.3)=6.7, f^{\prime}(6.3)=5$. Using the linear approximation to estimate the value of $f(5.985)$, we obtain

   A

   5.1250

   B

   2.8895

   C

   8.275

   D

   7.1105

   Xem đáp án

   Đáp án: A

   Công thức xấp xỉ tuyến tính: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$.

   Chọn $a=6.3$, $x=5.985$, ta có $x-a=5.985-6.3=-0.315$.

   Suy ra $f(5.985)\approx f(6.3)+f'(6.3)(5.985-6.3)=6.7+5(-0.315)=6.7-1.575=5.125$.

   Vậy kết quả là $5.1250$, các đáp án B, C, D không bằng giá trị này.

4. Câu 4

   The shape of a fountain pond is shown in the figure below. Assuming the thickness of the walls and bottom of the pond is neglected, the volume of the pond is equal to the volume of the solid of revolution generated by revolving the region bounded by the curve $y=\frac{-(x+2)^{3}}{2}+\frac{1}{2}, 2$ coordinate axes and the line $y=1$ about $y$-axis. Given that the units on the coordinate axes are in meters (m), the volume of the pond is equal to

   A

   $13.8230 \mathrm{~m}^{3}$

   B

   $16.9646 \mathrm{~m}^{3}$

   C

   $7.6296 \mathrm{~m}^{3}$

   D

   $14.4513 \mathrm{~m}^{3}$

   Xem đáp án

   Đáp án: D

   Đường cong $y=-\frac{(x+2)^{3}}{2}+\frac{1}{2}$ cho $(x+2)^{3}=1-2y$. Với $y=1$ ta được $x=-3$, với $y=0$ ta được $x=-1$.

   Miền quay quanh trục $y$ nằm ở $x\le 0$: với $x\in[-3,-1]$ miền cao từ đường cong tới $y=1$; với $x\in[-1,0]$ miền cao từ $y=0$ tới $y=1$.

   Dùng phương pháp vỏ trụ:
   $V=2\pi\int_{-3}^{-1}(-x)\left(1-y(x)\right)dx+2\pi\int_{-1}^{0}(-x)\,dx$.

   Đặt $u=x+2$: $\int_{-3}^{-1}(-x)(1-y)\,dx=\int_{-1}^{1}(2-u)\cdot\frac{1+u^{3}}{2}\,du=1.8$, và $\int_{-1}^{0}(-x)\,dx=\frac{1}{2}$.

   Suy ra $V=2\pi(1.8)+2\pi\cdot\frac{1}{2}=4.6\pi\approx14.4513\ \mathrm{m^{3}}$. Vậy chọn D.

5. Câu 5

   (L.O.1) Let $f(x)=\int_{3}^{5 x+4} t^{3} \sqrt{3+t^{2}} \mathrm{~d} t$ be a function. Find $f^{\prime}(-1)$.

   A

   2

   B

   -10

   C

   0

   D

   -2

   Xem đáp án

   Đáp án: B

   Đặt $g(t)=t^3\sqrt{3+t^2}$. Theo định lý Leibniz, $f'(x)=g(5x+4)\cdot(5x+4)'=5(5x+4)^3\sqrt{3+(5x+4)^2}$.

   Tại $x=-1$, cận trên là $5(-1)+4=-1$.

   Do đó $f'(-1)=5(-1)^3\sqrt{3+(-1)^2}=5\cdot(-1)\cdot2=-10$.

   Vậy đáp án đúng là B; các phương án A, C, D sai vì không bằng $-10$.

Làm trọn 22 câu để được chấm điểm và xem lời giải chi tiết.