1 LỜI NÓI ĐẦU Hàm toàn phương có nhiều tính chất đẹp, đáng chú ý và được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong lý thuyết xấp xỉ, giải tích lồi và tối ưu hoá. Hàm toàn phương là chủ đề hấp dẫn với nhiều kết qủa phong phú và luôn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Đề tài luận văn đề cập tới hàm toàn phương và các tính chất của nó. Hàm toàn phương có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau như: qui hoạch toán học, điều khiển tối ưu, lý thuyết trò chơi, mô hình toán kinh tế, v.v ... Vì thế tìm hiểu chủ đề này là cần thiết và bổ ích, giúp hiểu sâu hơn nhiều vấn đề lý thuyết và ứng dụng thực tế. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày những kết qủa cơ bản đã biết liên quan đến các dạng toàn phương và hàm toàn phương (hàm bậc hai), đặc biệt lưu ý các tính chất liên quan đến các ma trận như: tính xác định dương (âm) hay nửa xác định dương (âm) và các tính chất liên quan đến tính bức, tính lồi và các tính chất cực trị. Chẳng hạn, hàm bậc hai f(x) = 2 1 <x, Qx> + <p, x> + p0 (với Q  ℝ nn đối xứng, p  ℝ n , p0  ℝ) là lồi chặt khi và chỉ khi ma trận Q xác định dương, bất kể p và p0 như thế nào. Hàm bậc hai lồi chặt như thế cũng là hàm bức và hàm lồi mạnh. Nội dung đề cập trong luận văn được trình bày một cách chặt chẽ về mặt toán học, các khái niệm và kết quả nêu ra có kèm theo các ví dụ số cụ thể để minh hoạ. Luận văn được trình bày trong ba chương. 2 Chƣơng 1 HÀM TOÀN PHƢƠNG VÀ TÍNH CHẤT Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về ma trận xác định dương và về các dạng toàn phương, thường hay được dùng trong nhiều ứng dụng. Nêu các tính chất đáng chú ý của hàm toàn phương (hàm bậc hai) và mối quan hệ giữa hàm toàn phương với hàm bức, hàm lồi (lồi chặt) hoặc lõm (lõm chặt). 1.1. MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƢƠNG Định nghĩa 1.1. Ma trận vuông đối xứng Q (cấp n) gọi là xác định dương nếu x TQx > 0 với mọi véctơ x  0 (x  ℝ n ), gọi là nửa xác định dương nếu xTQx  0 với mọi véctơ x  ℝ n . Ma trận Q gọi là xác định âm (nửa xác định âm) nếu  Q là xác định dương (nửa xác định dương). Mệnh đề 1.1. Một tử thức chính bất kỳ của ma trận xác định dương (nửa xác định dương) là ma trận xác định dương (nửa xác định dương). Hệ quả 1.1. Các phần tử trên đường chéo chính của một ma trận xác định dương (nửa xác định dương) là dương (không âm). Ví dụ 1.1. A xác định dương, B nửa xác định dương và C xác định âm với A =           1 2 1 1 , B =           1 1 1 1 , C =           1 2 2 1 . Mệnh đề 1.2. Nếu Q nửa xác định dương, < x , Q x > = 0 ( x  ℝ n ) thì Q x = 0. Mệnh đề 1.3. Nếu ma trận Q xác định dương thì ma trận nghịch đảo Q 1 tồn tại và xác định dương. Mệnh đề 1.4. Nếu A là một ma trận tuỳ ý (vuông hay chữ nhật) thì AAT và A TA là các ma trận nửa xác định dương. Hệ quả 1.2. Ma trận đối xứng luỹ đẳng là ma trận nửa xác định dương. 3 Ví dụ 1.2. AAT xác định dương và A TA nửa xác định dương với A =         0 1 1 1 0 1 ⇒ A T =           1 1 0 1 1 0 , AAT =           1 2 2 1 , ATA =             1 1 2 0 1 1 1 0 1 . 1.2. DẠNG TOÀN PHƢƠNG Định nghĩa 1.2. Dạng toàn phương của n biến x1, x2, ... , xn là một tổng mà mỗi số hạng là bình phương của một biến hoặc là tích của hai biến khác nhau, lấy với các hệ số nào đó (dương, âm hay bằng 0): f(x1, x2, ... , xn) =    n i 1 n j 1 ijxix j a . Ta giả thiết các hệ số aij của dạng toàn phương là những số thực và aij = aji với mọi i = 1, ... , n và j = 1, ... , n. Ma trận A = (aij) (i, j = 1, 2, ... , n) lập nên từ các hệ số này được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Dùng ký hiệu ma trận, dạng toàn phương có thể viết gọn thành f(x) = xTAx với x = (x1, x2, ... , xn) T là véctơ cột các biến. Ví dụ 1.3. Dạng toàn phương f(x1, x2, x3) = 4x 2 1 - 12x1x2 - 10x1x3 + x 2 2 - 3x 2 3 có dạng ma trận là f(x) = (x1 x2 x3)              5 0 3 6 1 0 4 6 5         3 2 1 x x x .  Dạng toàn phương sẽ thay đổi thế nào sau khi thực hiên một phép biến đổi tuyến tính không