Trang 1
Mục lục 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục đích nghiên cứu 3 3 Đối tượng và phạm vi tác động 3 4 Hiện tượng dẫn nhiệt 4 4.1 Xét theo quan điểm vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.2 Xét theo quan điểm vi mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 Dẫn nhiệt của chất khí trong điều kiện thường . . . . . . . . . . . . 9 4.4 Dẫn nhiệt của chất khí trong điều kiện khí loãng . . . . . . . . . . . 10 4.5 Ghép các vật dẫn nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.5.1 Ghép nối tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.5.2 Ghép song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Sự bức xạ nhiệt 15 5.1 Định luật Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.2 Định luật dịch chuyển Vein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 Sự đối lưu 18 7 Bài tập 19 8 Kết luận 35 1
Trang 2
Phần 1: MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Các hiện tượng truyền nhiệt là một phần quan trọng trong chương trình Vật lý phổ thông chuyên và giữ vai trò thiết yếu trong việc phát triển tư duy vật lý, khả năng mô hình hóa và giải quyết vấn đề của học sinh. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Vật lý quốc tế và khu vực, những bài toán liên quan đến truyền nhiệt thường xuyên xuất hiện và thường mang tính phân loại cao. Đặc biệt trong những năm gần đây, đề thi Olympic 30/4, Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ, hay các đề thi chọn đội tuyển quốc gia đã có xu hướng tăng cường các bài toán có yếu tố thực tiễn cao, trong đó nhiều bài toán khai thác sâu về các hiện tượng truyền nhiệt như dẫn nhiệt, đối lưu, bức xạ nhiệt trong các môi trường khác nhau. Tuy nhiên, so với các chủ đề quen thuộc như cơ học, quang học hay điện học, thì các bài toán truyền nhiệt lại gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình học và ôn luyện. Điều này xuất phát từ việc kiến thức về truyền nhiệt thường được dạy ở mức độ cơ bản trong chương trình chính khóa, thiếu sự mở rộng và đào sâu, dẫn đến việc học sinh chưa nắm vững được bản chất các quá trình truyền nhiệt cũng như chưa có kỹ năng nhận dạng và giải quyết các bài toán phức tạp thuộc mảng này. Nhiều học sinh khi gặp bài toán truyền nhiệt có xu hướng lúng túng trong việc lựa chọn mô hình vật lý phù hợp, chưa biết sử dụng các định luật như định luật Fourier, định luật Stefan – Boltzmann, phương trình truyền nhiệt một chiều, . . . một cách hợp lý để giải quyết bài toán. Từ những thực tế trên, có thể thấy rằng việc giảng dạy và học tập các hiện tượng truyền nhiệt đòi hỏi sự đầu tư nghiêm túc cả về kiến thức nền tảng lẫn khả năng tư duy vật lý nâng cao. Giáo viên cần giúp học sinh nhận diện được các hiện tượng, phân loại các bài toán theo từng dạng cụ thể, từ đó lựa chọn phương pháp giải phù hợp: mô hình hóa quá trình truyền nhiệt, sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, vận dụng phương pháp đồ thị, hay kết hợp các kỹ thuật toán học – lý thuyết để giải bài toán định lượng. Việc học sinh nắm được những kiến thức cơ bản như điều kiện biên, trạng thái ổn định hay quá trình không ổn định, . . . sẽ giúp việc tiếp cận và giải quyết bài toán truyền nhiệt trở nên mạch lạc và hiệu quả hơn. Với tất cả những thuận lợi và khó khăn trên, tôi chọn đề tài “Các hiện tượng truyền nhiệt” để trao đổi, chia sẻ với quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Chuyên đề này không có tham vọng giới thiệu các nội dung mới mẻ hay nâng cao mang tính hàn lâm mà tập trung trình bày lại các kiến thức cốt lõi, các mô hình vật lý tiêu biểu cùng với hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao, được trích từ các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic khu vực và quốc tế. Tôi hy vọng chuyên đề sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan, có phương pháp tiếp cận rõ ràng, khoa học đối với một trong những nội dung vừa khó vừa hấp dẫn của chương trình Vật lý phổ thông – các hiện tượng truyền nhiệt. 2
Trang 3
2 Mục đích nghiên cứu Chuyên đề “Các hiện tượng truyền nhiệt” được chọn để giới thiệu với quý thầy cô giáo và các em học sinh những kinh nghiệm, hiểu biết và kết quả tìm tòi của tôi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Vật lý, đặc biệt là ở nội dung nhiệt học trong chương trình THPT chuyên. Thông qua đề tài này, tôi mong muốn nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nắm vững các hiện tượng truyền nhiệt – một trong những nền tảng quan trọng để hình thành và phát triển tư duy vật lý, đồng thời là chìa khóa để giải quyết nhiều dạng bài toán thực tiễn trong các kỳ thi học sinh giỏi. Thông qua chuyên đề, tôi trình bày một cách hệ thống các kiến thức và phương pháp phân tích các hiện tượng truyền nhiệt – từ những nguyên lý cơ bản đến các ứng dụng nâng cao, từ các ví dụ minh họa đơn giản đến những bài toán khó mang tính phân loại cao trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, khu vực, quốc gia và quốc tế. Tôi hy vọng rằng chuyên đề này sẽ giúp các em học sinh có thể tiếp cận một cách logic, mạch lạc và hiệu quả các bài toán liên quan đến truyền nhiệt, hình thành được phương pháp học tập chủ động, có khả năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt để giải quyết các bài toán truyền nhiệt nói riêng và các bài toán vật lý nâng cao nói chung. 3 Đối tượng và phạm vi tác động • Tài liệu này được dùng để bồi dưỡng những học sinh giỏi dự thi chọn học sinh giỏi quốc gia. • Là tài liệu tham khảo cho giáo viên và hướng dẫn tự học của học sinh các đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia. 3
Trang 4
Phần 2: Nội dung Như chúng ta đã biết, sự va chạm giữa các phân tử khí làm cho các phân tử khí chuyển động một cách hỗn loạn. Nếu trong chất khí có sự không đồng nhất về khối lượng riêng, về nhiệt độ hay về vận tốc dòng khí thì chuyển động nhiệt có tác dụng làm mất sự đồng nhất đó. Vì vậy phát sinh các hiện tượng truyền gồm hiện tượng truyền nhiệt, khuếch tán, nội ma sát. Nói cách khác, hai yếu tố cơ bản để gây ra hiện tượng truyền nhiệt là sự không đồng nhất về khối lượng riêng, về nhiệt độ hay về vận tốc dòng khí và sự va chạm gây ra chuyển động nhiệt. Nếu chỉ có một trong hai yếu tố nói trên thì chưa thể có hiện tượng truyền. Dưới đây, ta sẽ lần lượt nghiên cứu các hiện tượng đó. 4 Hiện tượng dẫn nhiệt 4.1 Xét theo quan điểm vĩ mô Sự dẫn nhiệt trong chất khí là do sự truyền nhiệt lượng từ lớp khí nóng hơn sang lớp khí lạnh hơn khi hai lớp khí này tiếp xúc với nhau. Thực ra trong quá trình dẫn nhiệt thì nhiệt độ tại một điểm nào đó phải thay đổi theo thời gian nhưng do sự dẫn nhiệt nói chung xảy ra khá chậm nên ta có thể coi nhiệt độ tại mỗi điểm thay đổi không đáng kể trong khoảng thời gian dt rất nhỏ. Giả sử nhiệt độ biến thiên dọc theo trục Ox thì trong khoảng thời gian dt sẽ có một nhiệt lượng dQ truyền qua tiết diện dS vuông góc với trục Ox. Thực nghiệm đã cho ta biết nhiệt lượng dQ tỷ lệ với tiết diện dS, với khoảng thời gian quan sát dt, với sự chênh lệch nhiệt độ giữa hai lớp khí T1 − T2 và nhiệt lượng dQ này tỷ lệ nghịch với khoảng cách x giữa hai lớp khí, tức là: dQ ∼ dS dQ ∼ T − T 1 2 T1 − T2 dQ ∼ dt =⇒ dQ ∼ dSdt. x 1 dQ ∼ x Nếu là quá trình truyền nhiệt dọc theo trục Ox ở trạng thái dừng (tức là nhiệt độ tại mỗi điểm thay đổi không đáng kể trong khoảng thời gian dt rất nhỏ) thì nhiệt lượng dQ được tính bằng công thức: dT (4.1) dQ = −k dSdt, dx với là hệ số tỉ lệ, được gọi là hệ số truyền nhiệt (hay hệ số dẫn nhiệt), dT là k dx gradient nhiệt độ theo chiều Ox. Biểu thức (4.1) được gọi là phương trình Fourier (Fu-ri-ê). Biểu thức (4.1) có thể được viết dưới dạng khác: ∆T (4.2) ∆Q = −k S∆t, ℓ hay ∆Q T2 − T1 T1 − T2 (4.3) = −k S = k , ∆t ℓ ℓ 4
Trang 5
với ℓ là chiều dài đường sinh của hình trụ như hình vẽ. Chúng ta hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 4.1: Xét một tấm vật liệu có độ dày ℓ và tiết diện đều S. Hai đầu của tấm được duy trì ở nhiệt độ T0 và T1. Giả sử hệ thống đã đạt trạng thái ổn định, hãy xác định: 1. Cường độ dòng nhiệt dQ qua tiết diện của tấm. dt 2. Nhiệt độ tại điểm cách đầu có nhiệt độ T0 một khoảng x, biểu diễn dưới dạng hàm theo x. T0 S T1 ℓ Bài giải Áp dụng định luật Fourie, ta có: dQ dT q = = −k S dt dx với q là cường độ dòng nhiệt. Vì hệ thống ở trạng thái cân bằng nên cường độ dòng nhiệt q là không đổi, do đó: dT qdx = −k S dx Zℓ ZT1 =⇒ qdx = −kSdT 0 T0 kS (T0 − T1) (4.4) =⇒ q = . ℓ Để xác định nhiệt độ T(x) tại một điểm cách đầu bên trái (có nhiệt độ T0), ta tiến hành tích phân biểu thức với các giới hạn tổng quát hơn: Zx Z T qdx = −kSdT T0 0 q (4.5) =⇒ T − T0 = − x. kS 5
Trang 6
Từ (4.4) và (4.5), ta có: T1 − T0 T = x + T0. l MỞ RỘNG VẤN ĐỀ: Từ phương trình (4.4), ta có thể thấy mối liên hệ giữ sự chênh lệch nhiệt độ ở hai đầu tấm vât liệu và cường độ dòng nhiệt theo biểu thức sau: ℓ T0 − T1 = ∆T = q . kS Mối liên hệ này đúng với mọi vật liệu có hệ số dẫn nhiệt k không đổi và tiết diện đều S không đổi. Khi xem xét kỹ, ta có thể nhận thấy rằng biểu thức này hoàn toàn tương tự với định luật Ohm đối với điện trở: U = V0 − V1 = IR. Như vậy, nhiệt độ và cường độ dòng nhiệt tương tự với điện áp và dòng điện trong mạch điện. Còn biểu thức ℓ tương đương với điện điện trở, và chúng ta sẽ kS gọi đó là trở nhiệt (thermal resistance). Lưu ý rằng biểu thức cho trở nhiệt cũng hoàn toàn tương tự với biểu thức điện trở đối với một điện trở có tiết diện không đổi. Trong trường hợp điện trở này, với độ dẫn điện σ, chiều dài ℓ và diện tích tiết diện không đổi S. Ta có: ℓ R = . σS Với những điều đã trình bày, ta có thể viết ra hai phương trình sau. Đối với quá trình dẫn nhiệt một chiều trong trạng thái ổn định và không có sự sinh nhiệt tại bất kỳ điểm nào trong hệ thống, sự chênh lệch nhiệt độ giữa hai bề mặt tỷ lệ thuận với cường độ dòng nhiệt truyền qua chúng: T0 − T1 = qR, (4.6) trong đó R là trở nhiệt. Đối với một vật liệu có hệ số dẫn nhiệt k không đổi, chiều dài ℓ và tiết diện đều S thì trở nhiệt được xác định bởi biểu thức: ℓ R = . kS Trở nhiệt trong các cấu hình tổng quát hơn cần được tính toán theo những cách khác. Bên cạnh sự tương đồng về điện trở, có thể rút ra các phép tương tự giữa các định luật Kirchhoff và một số tính chất trong mạch nhiệt. Định luật vòng (loop rule) của Kirchhoff, phát biểu rằng tổng điện áp quanh một vòng kín bằng không, chỉ mang tính hình thức trong bối cảnh này, vì đối với hệ nhiệt, nó tương đương với việc khẳng định rằng tổng độ chênh nhiệt độ quanh một vòng kín là bằng không. Tuy nhiên, phiên bản tương tự của định luật nút (junction rule) của Kirchhoff, vốn yêu cầu rằng tổng dòng điện ra tại một nút bằng không trong trạng thái ổn định, lại mang tính chất thiết yếu. Điều này, trên phương diện nhiệt, chính là tính liên tục của dòng nhiệt, khẳng định rằng mật độ dòng nhiệt ròng thoát ra tại mỗi 6
Trang 7
điểm trong một hệ không sinh nhiệt phải bằng không ở trạng thái ổn định (nếu không thì nhiệt độ tại điểm đó sẽ thay đổi theo thời gian). Chúng ta sẽ đi sâu hơn vào những hệ quả của các phép tương tự này ngay sau ví dụ sau đây. Ví dụ 4.2 (Diện tích tiếp xúc thay đổi): Xét một lớp vỏ hình trụ rỗng và dài có bán kính trong r0, bán kính ngoài r1, chiều dài ℓ (với ℓ ≫ r1) và hệ số dẫn nhiệt k không đổi. Nhiệt độ tại mặt trong và mặt ngoài được duy trì lần lượt ở T0 và T1. Bỏ qua hiệu ứng biên. Khi hệ thống đã đạt trạng thái ổn định, hãy tính: 1. Cường độ dòng nhiệt dQ truyền từ mặt trong sang mặt ngoài của lớp q = dt vỏ hình trụ. 2. Tính trở nhiệt của mô hình này. r2 r1 T0 T1 Bài giải Do có tính đối xứng trục và chiều dài lớn so với bán kính của cấu hình này, nhiệt lượng chỉ truyền theo phương bán kính, tức là vuông góc với trục của hình trụ, trong khi nhiệt độ chỉ là hàm của khoảng cách xuyên tâm từ trục. Xét một lớp vỏ hình trụ có bán kính r, chiều dài ℓ và bề dày vi phân dr, được đo từ tâm của hình trụ ban đầu. Do tính đối xứng, thông lượng dòng nhiệt là đồng đều trên bề mặt hình trụ này, có diện tích là 2πrℓ. Áp dụng định luật Fourie, ta có: dQ dT q = = −k2πrℓ . dt dr Do hệ thống đạt trạng thái ổn định, nên ta có: Zr1 ZT1 1 q dr = −2πkℓ dT r r0 T0 2πkℓ(T0 − T1) =⇒ q = r . ln 1 r0 Ta cũng có thể thấy rằng điện trở nhiệt được xác định bởi: r1 ln R = r0 . (4.7) 2πkℓ 7
Trang 8
4.2 Xét theo quan điểm vi mô Theo quan điểm vi mô, hai lớp khí có nhiệt độ T1 và T2 chênh lệch T1 > T2. Do khuếch tán phân tử có động năng là 1 chuyển sang lớp kia, ngược lại phân A kT2 2 tử có động năng lả 1 chuyển ngược lại. Kết quả là các phân tử chuyển động B kT1 2 hỗn loạn, nhiệt lượng truyền một lương i từ lớp trên đến lớp dưới. k (T1 − T2) 2 Xét sự dẫn nhiệt giữa hai điểm có nhiệt độ T1 và T2, với T1 > T2. Sự chênh lệch nhiệt độ dẫn đến sự vận chuyển năng lượng nhiệt. Lập luận tương tự như phần khuếch tán và nội ma sát ta có phương trình truyền nhiệt Fourier: dT Q = −k dSdt, dx trong đó k là hệ số truyền nhiệt. Bây giờ ta thiết lập biểu thức tính hệ số này. Số hạt truyền từ A đến B qua tiết diện dS trong thời gian dt là: 1 dN12 = nvdSdt, 6 từ đó ta duy ra năng lượng chuyển từ A sang B qua tiết diện dS trong thời gian dt là: W12 = dN12Wd 1 i = nv1dSdt kT1 6 2 ik1,5 = √ ndSdtT1,5 3 2πm 1 0 với m0 là khối lượng một phân tử khí. Năng lượng vận chuyển W21 từ B đến A xác định bằng công thức tương tự trong đó hoán vị các chỉ số 1 và 2: ik1,5 W = √ ndSdtT1,5 21 3 2πm 2 0 Hiệu năng lượng vận chuyển sẽ là: ikk1,5 ∆W = W − W = √ ndSdt T1,5 − T1,5 12 21 3 2πm 1 2 0 vì: T1,5 − T1,5 T1,5 − T1,5 dT T1,5 − T1,5 = 1 2 (dx) = − 2 1 (dx) = −1,5 T0,5 (2λ¯) 1 2 dx dx dx nên: ik1,5 3T0,5 dT ik1,5 dT ∆W = − √ ndSdt 2λ¯ = −√ nλT¯ 0,5d dSdt 3 2πm0 2 dx 2πm0 dx Từ công thức tính quãng đường tự do trung bình của chất khí, ta có: ¯ 1 nλ = √ , 2πd2 8
Trang 9
với d là đường kính phân từ, vậy kết quả năng lượng truyền có biểu thức: ik1,5 dT ∆W = − √ T0,5 dSdt 2 m0π1,5d2 dx và hệ số dẫn nhiệt có biểu thức: r ik1,5 i k 1,5 1 T k = √ nλ T¯ 0,5 = . 2π m 2 π d2 m 0 0 4.3 Dẫn nhiệt của chất khí trong điều kiện thường Theo quan điểm vi mô, ta chỉ xét hai lớp khí mỏng sát nhau có nhiệt độ là T1 = T và T2 = TdT, như hình vẽ. Ta sẽ tìm hệ số dẫn nhiệt k. Mật độ phân từ khí ở hai lớp khí là: N1 n1 = ∆V N2 n2 = . ∆V Nhiệt lượng trao đổi giữa hai lớp khí là: dQ = dQ1 − dQ2 3 3 = N1 kT1 − N2 kT2 2 2 3 = k ( N1 T1 − N2 T2) 2 3 1 1 = k n1v1SdtT1 − n2v2SdtT2 2 6 6 Vi lớp khí đang xét khá mỏng, nên ta xem như n = n1 ≈ n2, và v = v1 ≈ v2, ta suy ra: 1 dQ = knvSdt( T1 − T2) 4 Mà T2 − T1 dT ¯dT ¯ = ⇒ T1 − T2 = −2λ 2λ dx dx 9
Trang 10
Suy ra: 1 ¯dT dQ = − knvSdtλ 2 dx Vây: dQ 1 ¯ dT q = = − knv¯λ S dt 2 dx Khi đó, 1 ¯ k = kn · vλ 2 ¯ 1 2 Cv ρ NA ¯ 1 μcvρvλ =⇒ k = · vλ = 2 3 NA μ 3 μ 1 ¯ =⇒ k = cvρvλ 3 với: R 3 2 CV k = ;U = CV T = NA kT =⇒ k = NA 2 3 NA NA μ NA μ n = =⇒ n = = ρ Vμ NA Vμ NA vCV = mcV =⇒ CV = μcV trong đó, CV là nhiệt dung mol đẳng tích; và cV là nhiệt dung riêng đẳng tích. Và tốc độ trung bình được dùng bằng r 8RT v¯ = ⟨v⟩ = . μ Nếu nhiệt độ không biến đổi thì tỉ lệ với áp suất (p = nkT),λ¯ tỉ lệ nghịch với áp suất ¯ kT . Vậy suy ra không phụ thuộc áp suất. Điều ấy được giải λ = √ k 2πpd2 thích như sau: khi nhiệt độ không đổi, nếu tăng áp suất chất khí thì có nghĩa là tăng mật độ hạt, kéo theo sự tăng số hạt NA, NB làm tăng hệ số k. Nhưng mật độ hạt tăng thì λ¯ giảm, làm cho hệ số k giảm. Do hai ảnh hường ngược nhau như thế mà k không phụ thuộc vào áp suất. Điều này chỉ đúng với điều kiện áp suất bình thường, và không còn đúng nữa ở áp suất thấp. 4.4 Dẫn nhiệt của chất khí trong điều kiện khí loãng Theo quan điểm vi mô, mật độ dòng nhiệt: dT với 1 ¯ j = −k ; k = cvρuλ dx 3 Đối với khí loãng, khi đó: T2 − T1 dT ¯ = 2λ dx suy ra: 1 ¯ (T2 − T1) 1 j = − cvρu¯λ ¯ = cvρu¯(T1 − T2) 3 2λ 6 10
Trang 11
4.5 Ghép các vật dẫn nhiệt Sự tương đồng giữa điện trở nhiệt và điện trở không chỉ dừng lại ở một điện trở đơn lẻ. Ta có thể xác định điện trở nhiệt tương đương trong các cấu hình nối tiếp và song song của nhiều vật liệu có hệ số dẫn nhiệt khác nhau, dựa vào sự tương tự giữa tính liên tục của dòng nhiệt và dòng điện trong các hệ ở trạng thái ổn định. 4.5.1 Ghép nối tiếp Trước khi tiến hành rút ra biểu thức cho trường hợp tổng quát, ta hãy xét một ví dụ như sau: Ví dụ 4.3: Hai tấm vật liệu có độ dày khác nhau, lần lượt là ℓ1 và ℓ2, tiết diện đều bằng S, hệ số dẫn nhiệt lần lượt là k1 và k2, được ghép nối tiếp với nhau như hình vẽ bên dưới. Hai đầu ngoài của hệ được duy trì ở các nhiệt độ là T0 và T2. Tìm: 1. Cường độ dòng nhiệt qua hệ. 2. Trở nhiệt của hệ. 3. Nhiệt độ tại bề mặt tiếp xúc giữa hai vật liệu, ký hiệu là T1, khi hệ đạt trạng thái ổn định. Bài giải Do hai đầu của hệ được duy trì nhiệt độ không đổi nên có một dòng nhiệt lượng với cường độ không đổi chảy qua hệ. Ta có trở nhiệt của hai tấm vật liệu lần lượt là: l1 R1 = , k1S l2 R2 = . k2S 11
Trang 12
Ta có: T0 − T1 q = , R1 (4.8) T1 − T2 q = . R2 Loại bỏ T1, ta được: T0 − T2 (T0 − T2)S T0 − T2 = (R1 + R2)q =⇒ q = =⇒ q = ℓ ℓ . R1 + R2 1 + 2 k1 k2 Mặt khác, ta lại có: T0 − T2 = qRtđ ℓ1 ℓ2 =⇒ Rtđ = R1 + R2 = + . k1S k2S Từ phương trình (4.8), ta tính được nhiệt độ T1: 1 1 T0 T2 + T1 = + R1 R2 R1 R2 R2T0 + R1T2 k1ℓ2T0 + k2ℓ1T2 =⇒ T1 = = . R1 + R2 k1ℓ2 + k2ℓ1 MỞ RỘNG VẤN ĐỀ: Tổng quát, đối với một mạch nhiệt được tạo thành từ các trở nhiệt mắc nối tiếp với nhau, ta có thể xác định một trở nhiệt tương đương. Giả sử, có N trở nhiệt có giá trị R1, R2, · · ·, RN và nhiệt độ được duy trì ổn định là T1 và TN. Gọi Ti là nhiệt độ ở bề mặt tiếp xúc của trở nhiệt thứ i và thứ i + 1. Mục tiêu của chúng ta là xác định được trở nhiệt tương đương Rtđ và nhiệt độ Ti tại các mặt tiếp xúc. Đối với một hệ ở trạng thái cân bằng (ổn định), cường độ dòng nhiệt (lượng) q phải không đổi trên toàn bộ hệ. Do đó: qRi+1 = Ti − Ti+1. Lấy tổng trên toàn bộ hệ, ta có: XN Riq = T0 − TN, i=1 T0 − TN q = P , N R i=1 i XN Rtđ = Ri. (4.9) i=1 12
Trang 13
Để tính nhiệt độ Ti, ta chia mạch điện thành hai phần: một phần gồm các điện trở từ R1 đến Ri và phần còn lại gồm các điện trở từ Ri+1 đến RN, ta có: Xi R = R , 1i j j=1 XN R = R . (i+1)N j j=i+1 Sau đó, T0 − Ti q = R1i Ti − TN q = . R(i+1)N Khử q, ta được: R(i+1)NT0 + R1iTN Ti = . R1i + R(i+1)N 4.5.2 Ghép song song Trước khi tiến hành rút ra biểu thức cho trường hợp tổng quát, ta hãy xét một ví dụ như sau: Ví dụ 4.4: Hai tấm vật liệu có tiết diện đều, diện tích là S1 và S2 có cùng chiều dài là ℓ và hệ số dẫn nhiệt là k1 và k2 như hình vẽ. Hai đầu của hệ được duy trì nhiệt độ là T0 và T1. Tìm công thức tính trở nhiệt tương đương của hệ. Bài giải Trở nhiệt tương đương được xác định từ công thức: (T0 − T1) = qtổngRtđ. trong đó qtổng là cường độ dòng nhiệt truyền từ đầu bên trái sang đầu bên phải. 13
Trang 14
Dễ dang thấy được rằng, cường độ dòng nhiệt qtổng đơn giản là tổng của cường độ dòng nhiệt riêng lẻ truyền qua từng tấm vật liệu, ta có: T0 − T1 T0 − T1 T0 − T1 qtổng = q1 + q2 =⇒ = + Rtđ R1 R2 1 1 1 =⇒ = + . Rtđ R1 R2 Cường độ dòng nhiệt truyền qua hệ là: T0 − T1 k1S1 + k2S2 qtổng = = (t0 − T1) Rtđ ℓ MỞ RỘNG VẤN ĐỀ: Trong trường hợp tổng quát, có N trở nhiệt mắc song song R1, R2, · · ·, RN, ta có: XN XN T − T q = q = 0 1 , (4.10) tổng i R i i=1 i=1 mặc khác, ta có: T0 − T1 (4.11) qtổng = . Rtđ Từ (4.10) và (4.11), ta suy ra công thức tính trở nhiệt tương đương: 1 XN 1 = . (4.12) Rtđ Ri i=1 Với công thức tính trở nhiệt tương đương này, nhiều bài toán dẫn nhiệt khác nhau có thể được giải như các bài toán mạch điện đơn giản. Ngoài ra, khái niệm trở nhiệt tương đương cũng cung cấp một cách suy diễn khác cho điện trở nhiệt của một vỏ hình trụ, như đã được trình bày trong phương trình (7.1). Do tính đối xứng trục, toàn bộ vỏ hình trụ có thể được chia thành nhiều lớp vỏ đồng tâm với bán kính thay đổi liên tục và bề dày vi phân. Các mặt trong và mặt ngoài của mỗi lớp vỏ vi phân này đều có nhiệt độ không đổi. Hơn nữa, vì dòng nhiệt phải liên tục qua tất cả các lớp, nên trở nhiệt của toàn bộ vỏ hình trụ có thể được xem là tổng của các điện trở nhiệt vi phân mắc nối tiếp. Cuối cùng, vì nhiệt truyền theo hướng xuyên tâm và vuông góc với từng lớp vỏ, nên điện trở nhiệt của mỗi lớp vỏ nhỏ (có bán kính r và độ dày dr) tuân theo dạng trở nhiệt của một tấm phẳng: dr dr = , kS 2πkℓr trong đó diện tích tiếp xúc chính là bề mặt hình trụ có bán kính r và chiều dài l, tức là S = 2πrℓ. Ta có thể xử lý "vấn đề" này bằng cách khác thuyết phục hơn: ta chia lớp vỏ hình trụ thành những dải nhỏ có chiều dài ℓ, bề dày dr và bề rộng rdθ (tức là trong hệ tọa độ trụ). Những dải nhỏ này về bản chất là các tấm phẳng, do đó mỗi dải sẽ có trở nhiệt là: dr . Lớp vỏ hình trụ ban đầu được cấu thành từ vô số dải nhỏ kℓrdθ 14
Trang 15
như vậy, đặt cạnh nhau (nối song song), vì dòng nhiệt truyền qua các dải là độc lập và đi theo các "nhánh" khác nhau của một mạch tương đương. Do đó, điện trở nhiệt tương đương của một lớp vỏ hình trụ sẽ được xác định bằng cách lấy tích phân của nghịch đảo điện trở nhiệt của từng dải, tức là: Z2π kℓrdθ 2πkℓr = . dr dr 0 Lấy nghịch đảo của kết quả này, ta thu được điện trở nhiệt của lớp vỏ là: dr . 2πkℓr Vì các lớp vỏ tại các bán kính khác nhau mắc nối tiếp, nên trở nhiệt tương đương sẽ là tích phân của các điện trở nhỏ đó: Zr r1 1 dr ln R = = r0 . 2πkℓr 2πkℓ r0 Điều này hoàn toàn phù hợp với phương trình (7.1). Tuy nhiên, có một lưu ý then chốt cần được nhấn mạnh tại đây. Khi ta khẳng định rằng một trở nhiệt được tạo thành từ các thành phần mắc nối tiếp hoặc song song, ta phải chắc chắn rằng các bề mặt của từng thành phần đó đều có nhiệt độ không đổi. Điều này là vì khái niệm trở nhiệt chỉ có ý nghĩa khi được định nghĩa cho các vật thể có hai bề mặt có nhiệt độ không đổi và khác nhau, ví dụ như một tấm phẳng mà hai đầu được giữ ở hai nhiệt độ không đổi. Trong ví dụ ở trên về vỏ hình trụ, nhờ việc các mặt trong và mặt ngoài của mỗi lớp vỏ vi phân đều có nhiệt độ không đổi, ta mới có thể cộng điện trở của các lớp đó theo kiểu nối tiếp. Nói chung, cần phải rất thận trọng khi chia nhỏ một trở nhiệt thành các thành phần phụ, đảm bảo rằng mỗi bề mặt tiếp xúc có nhiệt độ không đổi, nếu ta muốn áp dụng kỹ thuật cộng trở nhiệt. 5 Sự bức xạ nhiệt Bức xạ nhiệt là năng lượng được phát ra dưới dạng sóng điện từ. Khác với dẫn nhiệt và đối lưu, các sóng điện từ này không cần môi trường truyền dẫn và thực tế là chúng truyền đi với vận tốc tối đa theo lý thuyết. Mọi vật thể có nhiệt độ tuyệt đối khác không (tức là đo theo thang nhiệt độ Kelvin) đều phát ra bức xạ nhiệt. Định luật Stefan–Boltzmann phát biểu rằng: Năng suất (công suất) phát xạ toàn phần của một vật đen tuyệt đối tỉ lệ với lỹ thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt đối của vật. R = σT4 (5.1) T trong đó: • T là nhiệt độ tuyệt đối của bề mặt (tính bằng Kelvin), • σ là hằng số Stefan–Boltzmann, σ = 5,6687.10−8 W.m−2.K−4. 15
Trang 16
Vật đen tuyệt đối là một thực thể lý tưởng có khả năng hấp thụ hoàn toàn mọi bức xạ điện từ chiếu tới, và phát xạ bức xạ nhiệt ở mức tối đa tương ứng với một nhiệt độ và diện tích bề mặt nhất định. Đối với các vật thể thực tế, năng suất bức xạ từ bề mặt luôn nhỏ hơn so với của vật đen tuyệt đối và được tính theo công thức: R = εσT4, (5.2) T với ε là hệ số phát xạ của vật thể (0 < ε < 1). Hệ số phát xạ ε đo lường khả năng phát bức xạ nhiệt của một vật thể so với vật đen tuyệt đối tương ứng. 5.1 Định luật Kirchhoff Tỉ lệ giữa công suất phát xạ và công suất hấp thụ là như nhau đối với tất cả các bề mặt ở cùng nhiệt độ và bằng công suất phát xạ của vật thể đen hoàn toàn ở nhiệt độ đó. Khi bức xạ nhiệt rơi xuống bề mặt vật liệu, ba điều có thể xảy ra với nó. 1. Một lượng nhiệt ER nhất định sẽ được phản xạ. 2. Một lượng nhiệt EA nhất định sẽ được hấp thụ. 3. Một lượng nhiệt ET nhất định sẽ được truyền đi. Như vậy tổng năng lượng tới Et được chia cho ba thông số này. Do đó, chúng ta có thề viết E1 = ER + EA + ET Đối với bề mặt sáng bóng như bạc ER là lớn và ET và EA đều nhỏ. Đối với bề mặt khối như than đá ER nhỏ, EA lớn hơn và ET nhỏ. Đối với môi trường trong suốt như thủy tinh, ER là nhỏ, EA nhỏ và ET lớn. Khỉ bức xạ nhiệt tới một vật thể hoặc được phát ra bởi một vật thể như nhau theo mọi hướng, bức xạ được cho là đẳng hướng. Nói chung, bức xạ tới của tất cả các bườc sóng bị hấp thụ phụ thuộc vào nhiệt độ và bản chất của bề mặt vật hấp thụ. Phần nhỏ của tồng công suất tới được một vật hấp thụ được gọi là độ hấp thụ của nó. Nó có thể được đưa ra dưới dạng: Độ hấp thụ = (Tổng công suất vật thề hấp thụ) / (Tổng công suất tác dụng lên vật thể) Khi môt vật ở trong trạng thái đẳng nhiệt, các quá trình hấp thụ và phát ra công suất bức xạ là bầng nhau và ngược chiều nhau. Vì vậy, tổng độ phát xạ bằng tổng độ hâp thụ. Tổng độ phát xạ được định nghĩa là phần công suất được cung cấp cho một vật thể tổng quát được phát ra qua bề mặt vật chất dưới dạng bức xạ chủ; ở đây "tổng" bao gồm tât cả các bước sóng cùa bức xạ điện từ hình thành vật thể. Sư phát xạ của một vật phụ thuộc vào cả nhiệt độ và bản chất của bề mặt phát xạ. Các vật thể có cùng nhiệt độ và kích thước nhưng vật liệu khác nhau phát ra tổng lượng bưc xạ nhiệt khác nhau. Theo định luật Kirchhoff, chất hấp thụ tốt là chất phát xạ tốt. Đối với mục đích nghiên cứu lý thuyết, chúng ta xác định một chất lý tưởng có khả năng hẩp thụ tất cả các bức xạ nhiệt. Một chất như vậy được gọi là vật đen. 16
Trang 17
Vì vậy, đối với vật đen, chúng ta có thể nói rằng độ phát xạ cũng như độ hấp thụ cùa nó là 1 . Chúng ta có thể so sánh các chất khác nhau với vật đen và thu được độ phát xạ của chúng. Độ phát xạ của một vật thể chung được ký hiệu là E và được định nghĩa về mặt toán học là: E = (Công suất bức xạ do vật đen phát ra ở một nhiệt độ nhất định)/(Công suất bức xạ do vật đen hoặc vật có hình dạng tương tự phat ra ơ cùng nhiệt độ). Do đó, tổng công suất bức xạ nhiệt do một vật thể nói chung phát ra là: (Công suât bức xạ tạo thành vật đen ỏ nhiệt độ nhất định) = E (Công suất bức xạ tạo thành vật đen ở cùng nhiệt độ). Về mặt thực nghiệm, một sự gần đúng rất tốt đối với vật đen được tạo ra bởi một khoang được bao bọc bởi các bức tường mờ đục ở nhiệt độ cao bất kể thành phần vật liệu của các bức tường bên trong của nó. Do đó, nếu apractical (thực tế) và Epractical (thực tế) đại diện cho sức hấp thụ và phát xạ của bề mặt đã cho, trong khi ablack (đen) và Eblack (đen) cho vật thể hoàn toàn đen thì theo luật: Epratical Eblack = apractical ablack Nhưng đối với một vật thể đen tuyệt đối, ablack = 1, vì vậy Epratical = Eblack apractical Nếu công suât phát xạ và hấp thự được xem xét cho một lambda bườc sóng cụ thề λ, Eλ = (Eλ)black aλ practical Bây giờ vì (Eλ)black là không đổi ở một nhiệt độ cho trước, theo định luật này nếu một bề mặt là chất hấp thụ tốt một bước sóng cụ thể thì nó cũng là một chất phát xạ tốt của bước sóng đó. Điều này lại cho thấy rằng một vật hấp thụ tốt là một vật phát (hoặc bộ tản nhiệt) tốt. 5.2 Định luật dịch chuyển Vein Năm 1894, dựa vào kết quả thực nghiệm, Wein đã tìm ra quy luật xác định bước sóng λmax (ứng với năng suất phát xạ cực đại) phụ thuộc vào nhiệt độ T của vật đen tuyệt đối, được gọi là định luật dịch chuyển Wein, phát biểu như sau: "Bước sóng λmax ứng với cực đại của năng suất phát xạ của vật đen tuyệt đối tỉ lệ nghịch với nhiệt độ tuyệt đối của nó" 2898 (5.3) λmax = . T Mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa nhiệt độ và bước sóng λmax giúp giải thích một cách khái quát vì sao các ngôi sao màu xanh lam lại nóng hơn các ngôi sao màu đỏ. 17
Trang 18
6 Sự đối lưu Đối lưu là hiện tượng khó phân tích một cách chặt chẽ, nhưng một quy tắc gần đúng được chấp nhận rộng rãi cho các chênh lệch nhiệt độ nhỏ là định luật làm nguội của Newton (Newton’s law of cooling). Định luật này phát biểu rằng: nhiệt lượng truyền qua một đơn vị diện tích vuông góc trong một đơn vị thời gian giữa một vùng nhỏ trên bề mặt chất lỏng hoặc chất rắn và không khí xung quanh (nơi mang nhiệt đi nhờ đối lưu) tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa chúng, trong trường hợp chênh lệch này nhỏ. j = −h(T − T0). (6.1) Trong đó, T là nhiệt độ của vùng nhỏ trên bề mặt, còn T0 là nhiệt độ của không khí bao quanh hệ thống. Dấu âm xuất hiện do một bề mặt có nhiệt độ cao hơn sẽ truyền nhiệt (mất nhiệt) cho môi trường xung quanh. h là hằng số tỉ lệ, được gọi là hệ số truyền nhiệt đối lưu (heat transfer coefficient). Hệ số này phải được xác định thông qua thực nghiệm, vì mối quan hệ này chỉ là xấp xỉ và không xuất phát từ một phân tích lý thuyết chính xác. Tốc độ dòng nhiệt Q được truyền giữa một bề mặt có nhiệt độ đồng đều và môi trường xung quanh sẽ bằng mật độ dòng nhiệt j nhân với diện tích bề mặt S: dQ (6.2) = −hS (T − T0). dt Ví dụ 6.1: Giả sử định luật làm nguội Newton đúng với một hệ số truyền nhiệt h, hãy xác định nhiệt độ tức thời T(t) của một cốc cà phê có nhiệt dung không đổi C, với bề mặt tiếp xúc với không khí có diện tích không đổi S. Nhiệt độ không khí trong phòng được giả sử là Tkk không đổi, nhiệt độ ban đầu của cà phê là T0 > Tkk. Giả sử rằng cà phê luôn đồng nhất về nhiệt độ trong suốt quá trình. Bài giải Gọi nhiệt độ tức thời của cà phê là T. Theo định luật làm nguội Newton, ta có: dQ = −hS (T − T0), dt với dQ , = CdT dt CdT = −hA(T − Tkk) ZT Zt 1 hA =⇒ dT = − dt T − Tkk C T0 0 T − Tkk hA =⇒ ln = − t. T0 − Tkk C Do T > Tkk nên: T = (T − T )e−hA t + T . 0 kk C kk 18
Trang 19
7 Bài tập Bài 7.1: Một tủ lạnh thông thường có nhiệt tương đương với một hộp bằng bia cót dày 90 và diện tích bề mặt bên trong là 5,6 m2. Khi cửa đóng, tường bên trong được giữ trung bình thấp hơn nhiệt độ của tường bên ngoài là 22,2◦C. Nếu động cơ của tủ lạnh chạy 15% thời gian trong khi cửa đóng, thì nhiệt lượng phải lấy từ bên trong khi động cơ đang chạy với tốc độ nào? Hệ số dẫn nhiệt của một hộp bằng bia cót là k = 0,05 W.m−1.K−1. Bài giải Coi một khoảng thời gian ∆t mà cánh cưa được đóng lại. Một cách gần đúng, ta lấy sư dẫn nhiệt là ổn định trên ∆t. Khi đó nhiệt lượng truyền vào hộp là: ∆Q ∆T 22,2 = kS = (0,05)(5,6) = 69,1 W ∆t ∆x 0,090 Để loại bỏ nhiệt lượng này, vì động cơ chỉ chạy trong khoảng thời gian 15% ∆t nên nhiệt lượng tỏa ra theo đúng hiệu suất đề bài cho là: 69,1 . = 460 W 0,15 Bài 7.2: Một lò sười điện cơ diện tích bề mặt 200 cm2 tỏa ra năng lượng 60 kJ trong khoảng thời gian 1 phút. Xác định công suất phát xạ cùa nó. Nếu độ phát xạ của 0,45 thì năng lượng bức xạ do vật đen phát ra trong một giờ, không định hướng lò sưởi điện về mọi mặt sẽ là bao nhiêu? Bài giải Cho ∆Q = 60 kJ; S = 200.10−4 m2 val ∆t = 60 s. Độ phát xạ: ∆Q l E = = 50 kW/m2 ∆t S Đô phát xạ của vật đen: 50 = 111,11 kW/m2 0,45 Năng lượng nhiệt bức xạ: ∆Q = E.S.∆t = (111,11) 200,10−4 (60,60) = 8000 kJ Bài 7.3: Nước đang được đun sôi trong ấm đáy phẳng đặt trên bếp. Diện tích đáy là 3000 cm2 và chiều dày là 2 mm. Nếu lượng hơi nước sinh ra là 1 g/ phút, hãy tính độ chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trong và mặt ngoài của đáy. Hệ số k đối với vật liệu làm ấm là 0,5cal.K−1.cm−1 và ẩn nhiệt hóa hơi của hơi nước là 540cal/g. Bài giải 19
Trang 20
Khối lượng hơi nước được tạo ra: dm 1 = ( g/s) dt 60 Nhiệt truyền mỗi giây là: dQ dm dQ 1 = L =⇒ = 540 = 9cal/s dt dt dt 60 Diện tích: S = 3000 cm2; Hệ số: k = 0,5cal.K−1.cm−1; Độ dày d = 2 mm = 0,2 cm Ta có: dQ kSdT dm kSdT = =⇒ L = dt (dx) dt d 0,5.3000.dT =⇒ 9 = 0,2 =⇒ dT = 1,2 × 10−3 ◦C. Bài 7.4: Một dòng điện không đổi đi qua một dây dẫn đồng tính có bán kính tiết diện là R và độ dẫn nhiệt χ. Trong một đơn vị thể tích của dây dẫn toả ra một công suất nhiệt là ω. Hãy tìm sự phân bố nhiệt trong dây dẫn nếu nhiệt độ ở mặt ngoài dây là T0. Bài giải Xét hình trụ cùng trục x′x, bán kính đáy r , chiều cao ℓ. Lượng nhiệt toả ra trong hình trụ trong khoảng thời gian ∆t là: Q = ωV ∆t = ωπr2ℓ∆t Diện tích xung quanh hình trụ là: ∆S = 2πrℓ Thay Q và ∆S vào công thức Fourier về hiện tượng dẫn nhiệt, ta có: dT Q = −χ ∆ S∆t dr 2 dT =⇒ ωπr ℓ∆t = −χ 2πrℓ∆t dr dT ω =⇒ = − r dr 2χ ω =⇒ dT = − rdr 2χ Suy ra: ZT ZT ω ω 2 2 dT = − rdr =⇒ T − T0 = R − r 3χ 4χ T0 R Vậy: T = T + ω R2 − r2 0 4χ 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!