LT XSTK - 1 - Tóm tắt công thức ðHNH TPHCM - 1 - Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ ñiển • Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). • A1, A2,…, An xung khắc từng ñôi⇔ P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). • Ta có o A, B xung khắc⇔ P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng ñôi⇔ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o P A P A ( ) 1 ( ) = − . • Công thức xác suất có ñiều kiện: ( ) ( / ) ( ) P AB P A B P B = , ( ) ( / ) ( ) P AB P B A P A = . • Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B). • A1, A2,…, An ñộc lập với nhau⇔ P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An). • Ta có o A, B ñộc lập⇔ P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C ñộc lập với nhau⇔ P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C). • Công thức Bernoulli: ( ; ; ) k k n k B k n p C p q n − = , với p=P(A): xác suất ñể biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p. • Công thức xác suất ñầy ñủ - Công thức Bayes o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An ñược gọi là một phép phân hoạch của Ω 1 2 . ; , 1, ... i j n A A i j i j n A A A  = Φ, ∀ ≠ ∈ ⇔   + + + = Ω o Công thức xác suất ñầy ñủ: 1 1 2 2 1 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / ) n i i n n i P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A = = = + + + ∑ oCông thức Bayes: ( ). ( / ) ( / ) ( ) i i i P A P B A P A B P B = với 1 1 2 2 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / ) P B P A P B A P A P B A P A P B A = + + + n n 2. Biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc • Luật phân phối xác suất với ( ), 1, . i i p P X x i n = = = Ta có: 1 1 n i i p = ∑ = và f( {a f(X) b}= i i a x b P p ≤ )≤ ≤ ≤ ∑ X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn LT XSTK - 2 - Tóm tắt công thức ðHNH TPHCM - 2 - • Hàm phân phối xác suất ( ) ( ) ≤ = ≤ = ∑ i X i x x F x P X x p • Mode ModX max{ : 1, } = ⇔ = = k k i x p p i n • Median 0,5 ( ) 0,5 MedX ( ) 0,5 0,5 < >  ≤  < ≤  = ⇔ ⇔    > ≤ ≤   ∑ ∑ i k i k i k x x k k i x x p P X x x P X x p • Kỳ vọng 1 1 2 2 1 ( . ) . . ... . n i i n n i EX x p x p x p x p = = = + + + ∑ 1 1 2 2 1 ( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ). n i i n n i E X x p x p x p x p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = = + + + ∑ • Phương sai 2 2 VarX E X EX = − ( ) ( ) với 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( . ) . . ... . n i i n n i E X x p x p x p x p = = = + + + ∑ b. Biến ngẫu nhiên liên tục. • f(x) là hàm mật ñộ xác suất của X ( ) 1 +∞ −∞ ⇒ = ∫ f x dx , {a X b} ( ). b a P f x dx ≤ ≤ = ∫ • Hàm phân phối xác suất ( ) ( ) ( ) −∞ = ≤ = ∫ x F x P X x f t dt X • Mode ModX x = ⇔0 Hàm mật ñộ xác suất f(x) của X ñạt cực ñại tại x0. • Median 1 1 ( ) ( ) 2 2 e x MedX x F x f x dx e X e −∞ = ⇔ = ⇔ = ∫ . • Kỳ vọng EX . ( ) x f x dx +∞ −∞ = ∫ . E X x f x dx ( ( )) ( ). ( ) ϕ ϕ +∞ −∞ = ∫ LT XSTK - 3 - Tóm tắt công thức ðHNH TPHCM - 3 - • Phương sai 2 2 VarX E X EX = − ( ) ( ) với 2 2 EX . ( ) x f x dx +∞ −∞ = ∫ . c. Tính chất • E C C Var C ( ) , ( ) 0 = = , C là một hằng số. • 2 E kX kEX Var kX k VarX ( ) , ( ) = = • E aX bY aEX bEY ( ) + = + • Nếu X, Y ñộc lập thì 2 2 E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY ( ) . , ( ) = + = + • σ ( ) X VarX = : ðộ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX. 3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn (Normal Distribution) 2 ( ~ ( ; )) X N µ σ • X ( ) Ω = ℝ , EX=ModX=MedX= µ , 2 VarX =σ • Hàm mñxs 2 2 ( ) 2 1 ( , , ) 2 − − = x f x e µ µ σ σ σ π • Với µ σ = = 0, 1: X N ~ (0,1) (Standard Normal Distribution) có hàm mñxs 2 2 1 ( ) 2 − = x f x e π (Hàm Gauss) • (a X b) ( ) ( ) b a P − µ − µ ≤ ≤ = ϕ − ϕ σ σ với 2 2 0 1 ( ) 2 x t x e dt π − ϕ = ∫ (Hàm Laplace) • Cách sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus Khởi ñộng gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var AC Mode STAT 1-Var AC Tính 2 2 0 1 ( ) 2π − ϕ = ∫ z x z e dx 2 2 1 ( ) 2π − −∞ = ∫ z x F z e dx Shift 3 2 z ) = Shift 3 1 z ) = Shift 1 7 2 z ) = Shift 1 7 1 z ) = Shift 1 5 2 z ) = Shift 1 5 1 z ) = Thoát gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Mode 1 Lưu ý: F z z ( ) 0,5 ( ) = + ϕ