1쪽
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ THỊ THANH BẤT ĐẲNG THỨC BERNSTEIN - MARKOV CHO ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022
자료 내용
2쪽
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ THỊ THANH BẤT ĐẲNG THỨC BERNSTEIN - MARKOV CHO ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8460113 Người hướng dẫn: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN
3쪽
Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đến TS. Trịnh Đào Chiến, thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện trong quá trình nghiên cứu khoa học để tôi có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê trường Đại học Quy Nhơn cùng quý thầy cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường. Nhân đây, tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị học viên lớp Cao học Toán K23, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnh những kết quả đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Bình Định, ngày 29 tháng 7 năm 2022 Học viên thực hiện Tạ Thị Thanh
4쪽
i Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 1 0.1 Cơ sở khoa học, tính thực tiễn và lí do chọn đề tài . . . . . 1 0.2 Mục đích của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 3 0.4 Nội dung của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài . . . . . . . . . 4 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Đa thức Chebyshev Loại 1 . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Đa thức Chebyshev Loại 2 . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Ý nghĩa hình học của công thức nội suy Lagrange . . . . . 16 2 Bất đẳng thức Bernstein- Markov 18 2.1 Lịch sử vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Bất đẳng thức Bernstein- Markov trên trường số thực . . . 22 2.2.1 Cách chứng minh thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 22
5쪽
ii 2.2.2 Cách chứng minh thứ hai . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Bất đẳng thức Bernstein-Markov trên trường số phức . . . 35 3 Một số ứng dụng của Bất đẳng thức Bernstein – Markov trong toán phổ thông 38 3.1 Ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein – Markov để thiết lập bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Ứng dụng Bất đẳng thức Bernstein – Markov và Đa thức Chebyshev để giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65
6쪽
1 Mở đầu 0.1 Cơ sở khoa học, tính thực tiễn và lí do chọn đề tài Dimitri Ivanovich Mendeleev p1856 1922q, một nhà Hóa học người Nga, người phát minh ra Bảng tuần hoàn các nguyên tố Hóa học, trong quá trình áp dụng Toán học để nghiên cứu Hóa học đã đặt ra một câu hỏi: Nếu Ppxq là một đa thức bậc hai trên trường số thực và |Ppxq| ¤ 1,@x P r1; 1s, thì có thể ước lượng gì cho |P1pxq| trên đoạn r1; 1s không? Sau một thời gian, chính ông đã trả lời câu hỏi của mình, với kết quả sau đây: Nếu Ppxq là một đa thức bậc hai trên trường số thực và |Ppxq| ¤ 1,@x P r1; 1s, thì |P1pxq| ¤ 4,@x P r1; 1s. Ông đã thông báo kết quả này cho nhà toán học Andrey Andreyevich Markov (1856 - 1922), một nhà toán học người Nga, chuyên gia về Xác suất - Thống kê, bạn vong niên của ông, học trò của P. L. Chebyshev. A. A. Markov đã kiểm tra lại kết quả này và thấy đúng. Hơn nữa, ông đã tổng quát hóa kết quả của D. I. Mendeleev bởi một kết quả khá sâu sắc sau đây : Nếu Ppxq là một đa thức bậc n, pn ¥ 1q trên trường số thực và |Ppxq| ¤ 1,@x P r1; 1s,
7쪽
2 thì |P1pxq| ¤ n2,@x P r1; 1s. (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ppxq Tnpxq, tại x 1, trong đó Tnpxq là Đa thức Chebyshev loại 1. Bất đẳng thức (1) được gọi là Bất đẳng thức Markov. Kết quả trên, sau đó, được nhà toán học người Nga Sergei Natanovich Bernstein (1880 - 1968) tổng quát hóa trên trường số phức, với định lý sau đây Nếu Ppzq là một đa thức bậc n, pn ¥ 1q trên trường số phức, thì max|P1pzq| ¤ n.max|Ppzq|. (2) |z|1 |z|1 Với lịch sử hình thành các kết quả như đã nêu, các bất đẳng thức (1) và (2) được gọi với tên chung là Bất đẳng thức Bernstein - Markov. Việc nghiên cứu Bất đẳng thức Bernstein - Markov gắn liền với khái niệm Đa thức Chebyshev. Giả sử Tnpxq là đa thức biến số x P R, bậc n. Ta biết rằng, với mỗi x P r1; 1s luôn tồn tại duy nhất α P r0;πs sao cho x cosα, trong đó x 1 khi và chỉ khi α π, x 1 khi và chỉ khi α 0. Khi đó, bởi hàm số y cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên đoạn r1; 1s nên α arccosx và Tnpxq Tnpcosαq là đa thức bậc n theo cosα . Ngoài ra, theo Công thức Moivre, cosnα cũng biểu diễn được bởi một đa thức bậc n theo cosα. Lưu ý rằng, với Tnpxq là đa thức bất kì xác định trước thì hai đa thức bậc n theo cosα này thường là khác nhau. Một cách tự nhiên, người ta nghĩ ngay đến việc bổ sung thêm điều kiện Tnpxq cosnα, khi x cosα,
앞 7페이지만 표시됩니다. 전체를 보려면 자료를 다운로드하세요.
댓글 (0)
댓글이 없습니다. 첫 댓글을 남겨보세요!