TỔNG HỢP ĐỀ THI GIỮA KỲ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Biên soạn: Lê Xuân Vương Đề 1-20171 Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y x    6arccot 5 . Giải:Ta có: 5 6arccot 5 0 arccot 6 x x       ( arccot x là hàm ngược nên đảo chiều của bất phương trình) 5 cot 3 6 x       TXĐ: D     ; 3  . Câu 2. Tìm tất cả hàm số liên tục f x  thỏa mãn f x x x      , . Giải:        , f c c c f c c f c c            R  Với c c f c f c 1 2 1 2 . 0 . 0        (vì f x  liên tục và f x x      0, 0 )  Có 4 hàm số thỏa mãn: f x x f x x f x x f x x         , , ,       . Câu 3. Tính   0 ln 1 4sin lim 3 1 x x x I     . Giải: ln3 0 0 4sin 4 4 lim lim 1 ln 3 ln 3 VCB VCB x x x x x I   e x     . Câu 4. Tìm a b,  để hàm số 3 1, 1 x x khi x y ax b khi x         khả vi tại x 1. Giải:- Điều kiện cần là: f x  liên tục tại x 1       1 1 lim lim 1 2 x x f x f x f a b           . 1 1 3 1 1 ( ) (1) ( ) (1) '(1) lim lim 1 1 2 lim lim 4 2 1 1 x x x x f x f f x f f x x ax a x x a b x x                            Vậy a=4 ;b=-2 Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao     5 y x với   2 y x x   ln 2 . Giải: y x x    ln 2 1 ln Ta có:      4 5 5 1 4! ln x x x         TỔNG HỢP ĐỀ THI GIỮA KỲ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Biên soạn: Lê Xuân Vương Trang 2          4 5 5 5 2 2 .4! ln 2 1 2 1 2 1 x x x              5 5 5 4! 2 .4! 2 1 y x x     . Câu 6. Tính 2 cot 0 lim sin x x x I  x        . Giải: 2 2 0 cot lim cot ln sin 0 lim sin x x x x x x x I e x                 2 0 sin ln 1 sin lim x tan x x x x e           2 3 0 0 sin sin lim lim x x sin .tan x x x x VCB VCB x x x e e         2 0 1 cos 1 lim x 3 6 L x x e e     . Câu 7. Tính tích phân 3 2 3 1 x dx x    . Giải:   3 2 2 3 (2 3) 1 ( 1)( 1) x dx x dx I x x x x           (Phân tách + đồng nhất)   2 2 1 1 1 2 1 5 . . 3 1 6 1 2 1 x dx x x x x x                     2 2 2 1 1 1 5 2 ln 1 ln 1 3 6 2 1 3 2 2 d x x x x x                               2 2 1 1 5 2 2 1 ln 1 ln 1 . arctan 3 6 2 3 3 1 1 5 2 1 ln( 1) ln( 1) arctan 3 6 3 3 x x x x C x x x x C                 . Câu 8. Tính tích phân   2 tan x dx  . Giải:Đặt 2 t x x t dx tdt      2   2     I t tdt td t t 2 .tan 2 tan   TỔNG HỢP ĐỀ THI GIỮA KỲ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Biên soạn: Lê Xuân Vương Trang 3 2 2 1 1 tan cos x x         2 tan tan t t t t t dt              2 2 2 2 tan 2 2ln cos 2. 2 .tan 2ln | cos | 1. 2 t t t t t C t t t t C                     2 tan 2ln 1. x x cox x x C . Câu 9. Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số 3 y x  1 đến 3 x để tính gần đúng 3 1,09 , (quy tròn đến 6 10 ). Giải:Ta có: 3 1 1 5 2 3 1 1 3 9 81      x x x x 3 1 1 5 2 3 1 0,09 1 .0,09 .0,09 .0,09 3 9 81       1,029145 . Câu 10. Bơm nước vào một bể chứa hình cầu bán kính 4m với tốc độ 3 1m /1 phút. Tính tốc độ tăng lên tức thời của chiều cao mực nước khi chiều cao mực nước là 3m. Giải:Gọi R là bán kính bể chứa, h là chiều cao mực nước. Khi đó thể tích mực nước là: 2 3 1 . 3 V Rh h            2 2 dV Rh h dh       2    dV Rh h dh  2   2 2 dV dh Rh h dt dt     Tại 0 t nào đó  0  1, 3 m dV t h dt       2 0 1 2.4.3 3 dh t dt      0  1 15 dh t dt    m/phút.