Master 1 MASS - Finance stochastique DS Épreuve du mardi 27 février 2007 Corrigé 1.— On considère un call européen C sur un actif S ; le prix d’exercice est K et l’échéance T . Le rendement sans risque sur la période [0, T ] est r. Le marché est supposé sans opportunité d’arbitrage. Montrer les deux inégalités strictes suivantes : a. C0 > S0 − Ke−rT . b. C0 < S0 . Solution a. La relation de parité call-put donne Ct − Pt = St − Ke−r(T −t) pour toute date t ∈ [0, T ]. En particulier, pour t = 0 on obtient C0 = P0 + S0 − Ke−rT > S0 − Ke−rT . L’inégalité stricte résulte de l’absence d’opportunité d’arbitrage : le pay-off du put est non-négatif et il offre des chances non-nulles de gain (option dans la monnaie à l’échéance). b. Si l’on a C0 ≥ S0 , il suffit de vendre un call et d’acheter une part de sous-jacent pour réaliser un arbitrage. On commence par empocher la différence éventuelle C0 − S0 –C. À l’échéance, si l’option est dans la monnaie on livre le sous-jacent et en échange on perçoit K –C. Si en revanche l’option n’est pas exercée, on revend l’actif et on touche ST –C. 2.— On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B, S) à trois étapes. On suppose que S0 = 40 –C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,3 et d = 0,8. Le rendement non-risqué sur chaque période est r = 5%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. Décrire la dynamique de S à l’aide d’un arbre et donner la probabilité de martingale. b. Un trader vend un put européen de prix d’exercice K = 45 –C et commence ses opérations de couverture delta-neutre. Déterminer le prix du put à la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit une baisse suivie d’une hausse puis d’une baisse : détailler les opérations de couverture effectuées par le trader. d. S’il s’agissait d’un put américain, l’acheteur aurait-il intérêt à exercer son put de manière anticipée ? Si oui, quelle serait la prime à payer pour ce put ? e. Quelle serait la prime d’un call europé

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