Khoa Kinh tế Kinh tế lượng ©2007 ĐHQG TP.HCM Lê Hồng Nhật 1 CHƯƠNG 3: HỒI QUI ĐƠN BIẾN 3.1 Bản chất thống kê của mô hình hồi quy đơn biến Phương pháp ước lượng LS, về thực chất, chỉ là vẽ một đường hồi quy đi xuyên qua “đám bụi” dữ liệu, sao cho tổng bình phương các phần dư [hay sai số] ESS là nhỏ nhất. Nhưng việc đo lường mang tính thuần túy đại số đó chưa có gì bảo đảm chắc chắn rằng nó sẽ cho ra những ước lượng tốt nhất của các tham số tổng thể ^^ ,βα α, β theo những tiêu chuẩn xác định về mặt thống kê. Để có thể những đánh giá cụ thể hơn về độ tốt của ước lượng, chúng ta cần xem xét sâu hơn bản chất thống kê của mô hình hồi quy. Để dễ hình dung, chúng ta bắt đầu bằng sự giả định phi thực rằng, quan hệ giữa biến X và [chẳng hạn như giữa thu nhập và tiêu dùng] chỉ tuân theo quy luật xác định, và hoàn toàn không bị chi phối bởi các yếu tố ngẫu nhiên. Khi đó, các quan sát sẽ nằm gọn trên một đường thẳng mô tả xu thế thực của tổng thể: Y N nnn yx 1 },{ = Y = α + β ⋅ X Không có yếu tố ngẫu nhiên tác động 1 2 R = x x x x x x x x 0 ≡ ββˆ n x n y Đồ thị 3.1a: quy luật xác định giữa X và Y. Khi đó, việc ước lượng trở nên tầm thường, vì ta luôn có == ββαα , và ^ ^ , 1 2 R = . Trần Thiện Trúc Phượng Khoa Kinh tế Kinh tế lượng ©2007 ĐHQG TP.HCM Lê Hồng Nhật 2 Bây giờ, chúng ta cho phép các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên quan hệ giữa . Như đã nêu, các nhân tố này khiến cho các quan sát bị lệch một cách ngẫu nhiên khỏi đường xu thế tổng thể. Vì vậy, thay vì nhìn thấy một đường xu thẳng tuyến tính như trên hình 3.1a, ta chỉ nhìn thấy một đám bụi dữ liệu bám xung quanh một xu thế nào đó mà ta muốn ước lượng. ,YX N nnn yx 1 },{ = x x x x x x x x 0 Đồ thị 3.1b: Quan hệ giữa X và Y bị nhiễu bởi các yếu tố ngẫu nhiên Trên Đồ thị 3.1b, ta thấy các điểm quan sát , trước đây nằm trên cùng một đường thẳng trên hình 3.1a, nay bị “thổi bay” lên thành một “đám bụi” dữ liệu, mà việc “chụp ảnh” chúng [tức là đi thu thập dữ liệu], rồi vẽ một đường hồi quy chạy xuyên qua chúng sẽ không nhất thiết là trùng với quy luật tổng thể (mô tả bởi gạch chấm). Điều này gợi ý rằng mỗi ước lượng chịu sự quy định bởi tham số tổng thể N nnn yx 1 },{ = ^ β β , nhưng bị lái đi bởi các biến ngẫu nhiên. [Tương tự, ta có thể nói như vậy về ]. Vì vậy, cũng là một biến ngẫu nhiên. Vấn đề đặt ra là, về trung bình mà nói [tức là sau rất nhiều lần chụp ảnh các đám bụi dữ liệu], liệu ước lượng có thể hiện đúng ^ α ^ β ^ β β hay không? Và liệu phương pháp ước lượng bình phương cực tiểu có là hiệu quả nhất hay không? Về mặt toán học, phương pháp bình phương cực tiểu cho ta ước lượng sau: Trần Thiện Trúc Phượng Khoa Kinh tế Kinh tế lượng ©2007 ĐHQG TP.HCM Lê Hồng Nhật 3 ( )( ) XX n n XX XY S yyxx S S ∑ −− β ==ˆ (3.1) Hay cũng vậy, ( ) XX n n S ∑ − yxx β =ˆ (3.2) iều này là do =− 0)( − ∑ yxx n n [đ , như đã chỉ ra ở chương 1, phần ôn tập]. Trong (3.2), ta đặt XX n n S xx c )( − − = , và nhận xét rằng, tham số đó chỉ phụ thuộc vào các quan =1 nó không ch ) có th = ∑ sát N x }{ . Do vậy, ịu ảnh hưởng bởi các yếu tố ngẫu nhiên. Khi đó, công thức (3.2 ể viết lại như sau: nn = ∑n nn yc ^ β [ + ] n n n n xc + εβα ∑ n += ∑ nn +∑ nn βα cxcc ε Chúng ta có th ễ dàng chỉ ra rằng, ∑ = n n c 0 và ∑ = n nn ể d xc 1. Và do vậy: (3.3) hương trình (3.3) khẳng định nhận định trước đây về là đúng: Ước lượng bị ảnh += ∑ nn ˆ c εββ P β ˆ β ˆ hưởng bởi các yếu tố ngẫu nhiên n ε , làm giá trị của nó không trùng khít với β tổ húng ta gọi là ước lượng không chệch, nếu . Và gọi nó là ước lượng hiệu quả nhất, nếu sai số ước lượng là nhỏ nhất trong lớp tất cả các ước lượng tuyến tính, không chệch. ng thể. Và vì vậy, β ˆ cũng là một biến ngẫ hiên. u n β ˆ = ββE ˆ 2 ^ )( ˆ EVar −= βββ C Trần Thiện Trúc Phượng