1 Trường Đại học Bách khoa Hà nội Bộ môn Cơ học Vật liệu và Kết cấu PGS.TS. Nguyễn Mạnh Cường BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Hà nội, 07/2015 2 PHẦN I: PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU Bài tập 1.1: Khảo sát hệ 3 lò-xo nối với nhau như Hình 1.1. Độ cứng của các lò-xo lần lượt là k, 2k và 3k. Điểm 1 được cố định vào tường, điểm 3 chịu một chuyển vị ban đầu . Tại các điểm 2 và 4 có các lực tác động tương ứng F2= -F và F4 = 2F. Hãy xác định chuyển vị tại các điểm và lực tại điểm 3.  F2 = - F 1 2 F4 = 2 F 3 4 LỜI GIẢI Bước 1: Mô hình hóa PTHH của cơ hệ Hệ lò-xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 1.1 Bước 2: Lập bảng ghép nối các phần tử qi qj Phần tử 1 1 2 Phần tử 2 2 3 Phần tử 3 3 4 Bước 3: Tính ma trận độ cứng của các phần tử  k1 2k  1  3  2 2 k  2k  2 k      k 3    3k  3k  3  k k  2  3k 3k  4   Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng chung K Đánh số các ma trận độ cứng các phần tử và tiến hành lắp ghép, ta thu được ma trận độ cứng chung:  1 1 0  k 4k  3k 1 4  3 0    k  K     0  3k 5k  2k   0  3 5  2  2k 2k  0 2 2   0 0 Bước 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F FT  R1  F R 3 2FT với R1: phản lực liên kết tại nút 1, R3: lực tại nút 3 Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}   0  Q1   R 1   1 1 0  1 4  3 0  Q   F   2     k  0  3 5  2  Q 3   R 3    0  2 2  Q 4   2F  0 (3) Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q1 = 0 và Q3 = , bỏ đi hàng 1 và cột 1 của ma trận K, ta có :  4  3 0  Q 2   F     (4) k   3 5  2      R 3     0  2 2  Q 4   2F  Biến đổi để giải hệ như sau : bỏ đi hàng 2 và cột 2 (tương ứng với vị trí của chuyển vị cho trước ). Đồng thời, từng hàng ở vế phải của (4) bị trừ đi một giá trị bằng  nhân với giá trị số hạng của ma trận ở cột 2 và hàng tương ứng : 4 0 Q 2   F  3k k      0 2 Q 4   2F  2k  Giải hệ này, ta thu được: Q 