Đề 4: Toán học và xử lý số liệu HSA

1. 問題 1

   Cho hàm số $y=\frac{2 x+1}{x-2}$ có đồ thị $(C)$. Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị $(C)$ mà tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{2}{5}$ ?

   A

   4

   B

   5

   C

   2

   D

   3

   正解を見る

   正解：C

   Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{0}$ là: $y=\frac{-5}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{2 x_{0}+1}{x_{0}-2}$

   Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là $A\left(\frac{2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2}{5} ; 0\right), B\left(0 ; \frac{\left.2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2\right)}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\right)$

   Do đó diện tích tam giác $S_{\Delta O A B}=\frac{1}{2} . O A . O B=\frac{\left(2 x_{0}{ }^{2}+2 x^{0}-2\right)}{10(x-2)^{2}}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow{ }_{0}^{x=1}{ }_{x}^{x_{0}=-3}$

   Vậy có 2 điểm thỏa mãn

2. 問題 2

   Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(C)$ của hàm số : $y=\frac{-x^{3}}{m}+3 m x^{2}-2$ có điểm uốn nằm trên đường parabol $(P): y=2 x^{2}-2 ?$

   A

   $m=0$

   B

   $m=2$

   C

   $m=1$

   D

   $m=-2$

   正解を見る

   正解：C

   Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho từ trước, từ đó suy ra giá trị của tham số

3. 問題 3

   Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số : $y=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}$ là?

   A

   $y=2 x$

   B

   $y=2 x+1$

   C

   $y=x$

   D

   $y=-x$

   正解を見る

   正解：C

   Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên

   Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng : $y=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(a \neq 0)$

   Τa có:

   $a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x_{3}}{x\left(x^{2}-1\right)}=1$

   $b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{x_{3}}{x^{2}-1}-x\right)=0$

   Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y=x$

4. 問題 4

   Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây $\log \frac{x+1}{3 y+1} \leq 9 y^{4}+6 y^{3}-x^{2} y^{2}-2 y^{2} x$.

   Biết $y \leq 1000$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x ; y)$ thỏa mãn bất đẳng thức trên?

   A

   1501100

   B

   1501300

   C

   1501400

   D

   1501500

   正解を見る

   正解：D

   Phương pháp giải
   Dùng hàm đặc trưng
   Lời giải
   Ta có: $log_{3y+1} \frac{x+1}{3y+1} \le 9y^4 + 6y^3 - x^2y^2 - 2y^2x$
   $\Leftrightarrow log \frac{xy+y}{3y^2+y} \le (9y^4+6y^3+y^2) - (x^2y^2+2xy.y+y^2)$
   $\Leftrightarrow log(xy+y) - log(3y^2+y) \le (3y^2+y)^2 - (xy+y)^2$
   $\Leftrightarrow log(xy+y) + (xy+y)^2 \le log(3y^2+y) + (3y^2+y)^2$
   Xét hàm : $f(t) = log t + t^2$ với $t \in (0;+\infty)$
   $f'(t) = \frac{1}{tln10} + 2t > 0 \forall t \in (0;+\infty) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$
   $\Rightarrow f(xy+y) \le f(3y^2+y) \Leftrightarrow xy+y \le 3y^2+y \Leftrightarrow x \le 3y$
   Vì $y \le 1000$ nên ta có các trường hợp sau:
   $y=1 \Rightarrow x \in \{1;2;3\}$
   $y=2 \Rightarrow x \in \{1;2;3;4;5;6\}$
   .........
   $y=1000 \Rightarrow x \in \{1;2;3;....;3000\}$
   Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $3+6+9+...+3000=1501500$

5. 問題 5

   Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq y \leq 100$ và $x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0 ?$

   A

   10

   B

   100

   C

   20

   D

   21

   正解を見る

   正解：D

   Sử dụng hàm đặc trưng
   Lời giải
   $x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 - 19y^3 + 3x^2 - 3y = 0$
   $\Leftrightarrow x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 + 8y^3 - 27y^3 + 3x^2 - 3y = 0$
   $\Leftrightarrow x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 + 8y^3 + 3x^2 + 6y = 27y^3 + 9y$
   $\Leftrightarrow (x^2 + 2y)^3 + 3(x^2 + 2y) = (3y)^3 + 3.3y (*)$
   Xét hàm số: $f(t) = t^3 + 3t$
   Ta có : $f'(t) = 3t^2 + 3 > 0 \forall t \in \mathbb{R}$
   $\Rightarrow f(t)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
   Vì vậy $(*) \Leftrightarrow f(x^2 + 2y) = f(3y) \Leftrightarrow x^2 + 2y = 3y \Leftrightarrow x^2 = y$
   Theo giả thiết ta có : $0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le x^2 \le 100 \Leftrightarrow -10 \le x \le 10$
   Vì $x$ nguyên nên $x \in \{-10;-9;-8;...;8;9;10\}$, với mỗi $x$ xác định duy nhất giá trị $y = x^2$.
   Vậy có 21 cặp $(x;y)$ thỏa mãn bài toán.

51問すべてに解答すると、採点されて詳しい解説を見られます。