Đề 2: Toán học và xử lí số liệu HSA

1. 問題 1

   Một viên đạn pháo được bắn từ mặt đất với vận tốc $\mathrm{v} 0 v 0$ hợp với phương ngang một góc $\theta$ (đơn vị: độ, $0^{\circ}<\boldsymbol{\theta}<45^{\circ}$ ) và tầm bắn được mô hình hóa bởi hàm số $\boldsymbol{R}(\boldsymbol{\theta})=\frac{\boldsymbol{v}_{0}^{2} . \boldsymbol{s} \boldsymbol{i} \boldsymbol{n}(2 \boldsymbol{\theta})}{\boldsymbol{G}}$, trong đó $\boldsymbol{g}$ là gia tốc trọng trường lấy xấp xỉ bằng $9,8 \boldsymbol{m} / \boldsymbol{s}^{2}$. Với $\boldsymbol{v}_{0}=500 \boldsymbol{m} / \boldsymbol{s}$, tính $\theta$ để viên đạn trúng mục tiêu trên mặt đất phẳng cách đó 19500 m (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
   正解を見る

   正解：(1) 25

   Phương pháp giải

   Thay các giá trị $R(\theta)=\frac{v_{0}^{2} \sin (2 \theta)}{g}$ vào hàm số để tính $\theta$

   Giải chi tiết

   Góc $\theta$ để viên đạn trúng mục tiêu trên mặt đất phẳng cách đó 19500 m là:

   $19500=\frac{500^{2} \sin (2 \theta)}{9.8}$

   $\begin{aligned} & \Rightarrow \sin (2 \theta)=19500: \frac{500^{2}}{9.8}=\sin (2 \theta)=\frac{1911}{2500} \\ & \Rightarrow 2 \theta \approx 50^{\circ} \Rightarrow \theta \approx 25^{\circ} \end{aligned}$

   Đáp án cần điền là: 25

2. 問題 2

   Số giá trị nguyên của tham số m trên đoạn [-10,10] để bất phương trình $m x^{2}-3 m x+4 m-2 \leq 0$ thỏa mãn với mọi số thực x là:

   A

   10.

   B

   12.

   C

   11.

   D

   20.

   正解を見る

   正解：C

   Lời giải

   +Nếu $m=0$ thì BPT trở thành $-2 \leq 0$ đúng $\forall x$

   +Nếu $m \neq 0$ thì bất phương trình luôn đúng $\forall x$

   $+\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { m < 0 } \\ { \Delta ^ { \prime } \leq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { m < 0 } \\ { 9 m ^ { 2 } - 4 m ( 4 m - 2 ) \leq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m<0 \\ -7 m^{2}+8 m \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow m \leq 0\right.\right.\right.$

   Đáp án cần chọn là C

3. 問題 3

   Một công ty tuyển dụng nhân viên mới với mức lương là 120 triệu đồng cho năm đầu tiên. Mỗi năm tiếp theo, tiền lương nhân viên này được tăng thêm 5 triệu cho đến khi đạt mức tối đa là 150 triệu đồng/năm. Tính tổng số tiền lương mà người nhân viên nhận được trong 15 năm đầu (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị tính: triệu đồng)
   正解を見る

   正解：(1) 2145

   Lời giải

   Ta có:

   $\begin{aligned} & d=5, u_{1}=120, u_{n}=150 . \\ & u_{n}=u_{1}+(n-1) d \Rightarrow 150=120+(n-1) 5 \\ & \Leftrightarrow n=7 ; S_{7}=\frac{\left(u_{1}+u_{7}\right) 7}{2}=945 \end{aligned}$

   Số tiền mà nhân viên kiếm được sau khi đạt hạn mức 8 năm còn lại là: $150.8=1200$

   Vậy tổng số tiền lương mà người nhân viên nhận được trong 15 năm đầu là 2145 triệu

   Đáp án cần điền là: 2145

4. 問題 4

   Cho hàm số $y=x^{3}-2009 x \mathrm{M}_{1}$ là điểm trên (C) có hoành độ $x_{1}=1$ Tiếp tuyến của (C) tại $\mathrm{M}_{1}$ cắt (C) tại điểm $\mathrm{M}_{2}$ khác $\mathrm{M}_{1}$; tiếp tuyến của (C) tại $\mathrm{M}_{2}$ cắt (C) tại điểm $\mathrm{M}_{3}$ khác $\mathrm{M}_{2}$; ...; tiếp tuyến của (C) tại $\mathrm{M}_{\mathrm{n}-1}$ cắt (C) tại $\mathrm{M}_{\mathrm{n}}$ khác $\mathrm{M}_{\mathrm{n}-1}(\mathrm{n}=4 ; 5 ; \ldots)$. Gọi $\mathrm{M}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)$. Tìm n để $2009 x_{n}+y_{n}+2^{2013}=0$
   正解を見る

   正解：(1) 672

   • Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến là:

   $x^{3}-2009 x=\left(3 x_{1}^{2}-2009\right)\left(x-x_{1}\right)+x_{1}^{3}-2009 x_{1}(1)$

   Phương trình (1) có một nghiệm kép $\mathrm{x}_{1}=1$ và một nghiệm $\mathrm{x}_{2}$.

   Từ (1): $x^{3}-3 x+2=0$

   • Áp dụng định lý Viète cho phương trình bậc 3, ta có: $\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=0 \\ x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}=-3 \Leftrightarrow x_{2}=-2 x_{1} \\ x_{1}^{2} x_{2}=-2\end{array}\right.$

   Suy ra $x_{1}=1, x_{2}=-2, x_{3}=4, \ldots, x_{n}=(-2)^{n-1}$

   Ta có $2009 x_{n}+y_{n}+2^{2013}=0 \Leftrightarrow 2009 x_{n}+x_{n}^{3}-2009 x_{n}+2^{2013}=0$

   $\begin{aligned} & \Leftrightarrow(-2)^{3 n-3}=-2^{2013} \Leftrightarrow 3 n-3=2013 \Leftrightarrow n=672 \\ & \Rightarrow n=672 \end{aligned}$

   Đáp án cần điền là: 672

5. 問題 5

   Nghiên cứu về quá trình tăng trưởng của một quần thể sinh vật trong điều kiện môi trường sống hạn chế cho thấy: ban đầu số lượng cá thể tăng trưởng chậm, sau đó nhanh và cuối cùng khi thời gian đủ dài, số lượng cá thể của quần thể đạt đến trạng thái cân bằng, khi đó số lượng cá thể sinh ra xấp xỉ bằng số lượng chết đi. Số lượng cá thể N trong quần thể theo thời gian t (ngày) được mô hình hóa và xấp xỉ theo hàm số: $N(t)=\frac{15496 e^{0,5(x-7,17)}}{0,04+e^{0,5(x-7,17)}}$. Khi quần thể sinh vật trên đạt trạng thái cân bằng, số cá thể của quần thể gần nhất với giá trị nào sau đây? H S A

   A

   19654.

   B

   12946.

   C

   14569.

   D

   15496.

   正解を見る

   正解：D

   Lời giải

   $\lim _{x \rightarrow+\infty} N(t)=\frac{15496 e^{0,5(x-7,17)}}{0,04+e^{0,5(x-7,17)}}=15496$

   Đáp án cần chọn là: D

50問すべてに解答すると、採点されて詳しい解説を見られます。