1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- VŨ THỊ HƯƠNG SẮC ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội-2013 2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- VŨ THỊ HƯƠNG SẮC ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊNH Hà Nội-2013 3 Mục lục Giới thiệu............................................................................................................5 Kiến thức chuẩn bị ..............................................................................................7 1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính ................................................7 1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên ......................................................................9 1.2.1 Quá trình Markov ...............................................................................9 1.2.2 Martingale ........................................................................................10 1.3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng ..........................................10 1.3.1 Các hàm đặc trưng............................................................................10 1.3.2 Các tham số đặc trưng ......................................................................12 1.4 Chuyển động Brown................................................................................14 1.4.1 Phân bố chuẩn ..................................................................................14 1.4.2 Chuyển động Brown.........................................................................15 1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô) ...................................................18 1.5.1 Bổ đề Itô...........................................................................................18 1.5.2 Chuyển động Brown hình học...........................................................19 Chương 2 ..........................................................................................................22 Mô hình Black – Scholes và các hạn chế...........................................................22 2.1 Mô hình Black – Scholes.........................................................................22 2.2 Các hạn chế của mô hình Black – Scholes...............................................23 2.2.1 Độ biến động nụ cười .......................................................................23 2.2.2 Tính không đầy đủ của các thị trường ...............................................24 Chương 3 ..........................................................................................................26 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ...............................................26 3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên .....................................................26 3.2 Các quá trình bước nhảy..........................................................................28 3.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy......................................32 3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn ................................................32