1 ページ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ——————— PHÙNG THỊ KIM YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023
資料の内容
2 ページ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————– * ——————— PHÙNG THỊ KIM YẾN MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TOÁN TỬ ELLIPTIC SUY BIẾN MẠNH Ngành: Toán Giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn THÁI NGUYÊN - 2023
3 ページ
1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả này được làm dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Các kết quả trong luận án viết chung với thầy hướng dẫn đều đã được sự nhất trí của thầy hướng dẫn khi đưa vào luận án. Các kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác. Thái Nguyên, tháng 03 năm 2023 Nghiên cứu sinh: Phùng Thị Kim Yến
4 ページ
2 LỜI CẢM ƠN Luận án được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn. Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học khi tác giả còn là học viên cao học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực giúp tác giả tin tưởng và say mê trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy người đã truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa học và định hướng cho tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự thú vị và ý nghĩa. Tác giả vô cùng biết ơn các thầy, cô giáo cùng các anh chị em nghiên cứu sinh trong seminar Bộ môn Giải tích khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Giải tích - Viện Toán học đã cổ vũ động viên và truyền cho tác giả nhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội, các anh chị em Bộ môn Toán, khoa Khoa học Đại cương, trường Đại học Tài nguyên và Môi trường Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn quỹ NAFOSTED đã tài trợ cho tác giả trong suốt quá trình học nghiên cứu sinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Dương Trọng Luyện, Đại học Hoa Lư-Ninh Bình, người đã giúp đỡ và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án.
5 ページ
Mục lục Trang Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Mục lục 3 Một số quy ước và kí hiệu 6 Mở đầu 7 1 Kiến thức chuẩn bị 19 1.1 Toán tử ∆γ-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.1 Toán tử ∆γ-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Một số không gian hàm và định lý nhúng . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Không gian kiểu Sobolev trong miền bị chặn và định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Không gian kiểu Sobolev trong toàn không gian và định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 Một số kết quả về lý thuyết điểm tới hạn . . . . . . . . . . 25 3
6 ページ
4 1.4 Tập hút toàn cục và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2 Một số mệnh đề phụ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic suy biến cấp bốn 32 2.1 Đồng nhất thức kiểu Pohozaev và định lý về sự không tồn tại nghiệm mạnh không tầm thường . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình elliptic suy biến cấp bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Dáng điệu khi thời gian lớn của nghiệm phương trình hyperbolic suy biến mạnh 57 3.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân . . . . . . . . . . 58 3.1.1 Đặt bài toán và các không gian hàm . . . . . . . . . 58 3.1.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân . . . . 63 3.1.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục compact trong S2(RN)×L2(RN) 73 1 3.3 Phương pháp hệ gradient và cấu trúc của tập hút toàn cục compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Kết luận và kiến nghị 91 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . 91
8 ページ
6 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU RN không gian vectơ thực N chiều |x| chuẩn Euclid của phần tử x trong không gian RN Ck(Ω) không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên miền Ω Lp(Ω) không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trong miền Ω B′ không gian đối ngẫu của không gian Banach B (·,·)H tích vô hướng trong không gian Hilbert H ⟨·,·⟩ cặp đối ngẫu giữa H và H′ Id ánh xạ đồng nhất ⇀ hội tụ yếu ,→ phép nhúng liên tục ,→,→ phép nhúng compact Vol(Ω) độ đo Lebesgue của tập Ω trong không gian RN PN ∆ toán tử elliptic suy biến ∂ (γ2∂ ) γ xj j xj j=1 PN ∆ toán tử Laplace ∂2 x ∂x2 i=1 i ν = (ν1, ..., νN) pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên ∂Ω νγ = (γ1ν1, ..., γNνN) pháp tuyến liên quan đến toán tử ∆γ
9 ページ
MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến xuất hiện nhiều trong các quá trình của vật lý, hoá học và sinh học, chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các phản ứng hoá học, các mô hình quần thể trong sinh học, v.v. Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ, chính vì thế nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Các bài toán đối với phương trình hay hệ phương trình đạo hàm riêng thường có nguồn gốc từ các ngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt nó là các mô hình giải tích của nhiều hiện tượng vật lý. Cho đến tận những năm 20 của thế kỷ thứ 20 thì các nghiệm của bài toán đối với phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng được hiểu chung nhất là nghiệm cổ điển, nghiệm đòi hỏi khả vi theo nghĩa thông thường đến cấp của phương trình, điều này gây rất nhiều khó khăn cho việc chứng minh cho tính đặt đúng của các bài toán này, đặc biệt tính trơn của nghiệm còn phụ thuộc vào cấu trúc hình học của miền được xét. Vì vậy, khái niệm nghiệm suy rộng được đưa ra bởi các lý do khác nhau. Việc đưa ra khái niệm nghiệm suy rộng là một bước ngoặt trung tâm về mặt phương pháp trong việc nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng và các bài toán biến phân của chúng. Trước tiên, chúng tôi trình bày tổng quan các nghiên cứu về các 7
10 ページ
8 tính chất nghiệm của một số bài toán cho các phương trình elliptic và hyperbolic á tuyến tính cấp hai trong đó chứa toán tử elliptic suy biến. Cho đến nay lý thuyết về phương trình elliptic tuyến tính đã được phát triển tương đối hoàn thiện. Tính giải được của các bài toán biên cơ bản cho phương trình elliptic tuyến tính trong miền bị chặn đã được thiết lập, xong trong lý thuyết và thực tiễn, xuất hiện các phương trình elliptic phi tuyến và suy biến [12, 22, 25, 26, 49]. Loại phương trình phi tuyến đơn giản nhất là các phương trình á tuyến tính, khi phương trình là tuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất. Các phương trình elliptic phi tuyến đòi hỏi các phương pháp nghiên cứu và công cụ tiếp cận mới, nhất là giải tích hàm phi tuyến. Các bài toán biên cổ điển trong miền bị chặn vẫn tiếp tục được đặt ra đối với phương trình elliptic phi tuyến [1, 11, 13, 18–20, 24, 27–34, 43, 58, 60]. Các nhà toán học đã đưa vào xét một số lớp phương trình elliptic suy biến á tuyến tính [23–29] và phát hiện ra rằng: trong một số trường hợp cấu trúc hình học của miền có ảnh hưởng quan trọng đến tính giải được của các bài toán biên ([37]). Nhiều kết quả sâu sắc về tính giải tích, độ trơn của nghiệm của phương trình elliptic, hệ phương trình elliptic đã được thiết lập. Lý thuyết bài toán biên, bao gồm tính duy nhất, tính giải được, tính nhiều nghiệm, ...cho phương trình, hệ phương trình elliptic cũng được phát triển vô cùng mạnh mẽ. Tiếp theo sẽ là tổng quan về một số nghiên cứu cho tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic, elliptic suy biến cấp hai và cấp bốn nửa tuyến tính trong miền bị chặn Ω ⊂ RN. Như chúng ta đã biết, một trong những toán tử elliptic được nghiên cứu nhiều đó là toán tử Laplace trong không gian RN: ∂2u ∂2u ∂2u ∆u = + + ... + . ∂x2 ∂x2 ∂x2 1 2 N
最初の10ページを表示しています。全文を見るには資料をダウンロードしてください。
コメント (0)
まだコメントはありません。最初のコメントを書きましょう！