Master IMEA 1 Feuille de T.D. no 1 Calcul Stochastique et Finance Corrigé exercices 8 et 9 8.— On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B, S) à trois étapes. On suppose que S0 = 20 –C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqué sur chaque période est r = 2%. a. Décrire la dynamique de S à l’aide d’un arbre et donner la probabilité de martingale. b. Un trader vend un put européen de prix d’exercice K = 20 –C et commence ses opérations de couverture delta-neutre. Déterminer le prix du put à la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux baisses consécutives puis une hausse : détailler les opérations e↵ectuées par le trader sur son portefeuille de couverture. d. S’il s’agissait d’un put américain, l’acheteur aurait-il intérêt à exercer son put de manière anticipée ? Solution a. et b. On reproduit dans la figure ci-dessous la dynamique du sous-jacent et les prix du put européen aux di↵érents nœuds de l’arbre CRR. Ces prix peuvent s’obtenir comme les espérances actualisées du pay-o↵. Les espérances sont calculées avec la probabilité de martingale q : q= 1,02 0,9 3 = 1,1 0,9 5 et la prime à t = 0 est p0 = 0,9185 –C. 26,62 0 24,2 0 21,78 22 0,3353 20 0 19,8 0,9185 0,8549 18 17,82 1,8393 2,18 16,2 3,4078 14,58 5,42 Précisons un peu les calculs pour le put. Les probabilités des di↵érents chemins issus des nœuds de l’arbre et aboutissant au pay-o↵ sont données par des lois binomiales B(n, q) avec n = 1, 2 ou 3. À la date t = 0 : 1 p0 = 3q(1 q)2 ⇥2,18 + (1 q)3 ⇥5,42 = 0,9185 –C. (1,02)3 À la date t = 1, en cas de hausse (nœud S1 = 22) : pu1 = 1 (1 (1,02)2 q)2 ⇥2,18 = 0,3353 –C et en cas de baisse (nœud S1 = 18) : pd1 = 2002-2012 michel miniconi 1 2q(1 (1,02)2 q)⇥2,18 + (1 q)2 ⇥5,42 = 1,8393 –C version du 5 février 2012 À la date t = 2 et en cas de double hausse (au nœud S2 = 24,2), le prix du put est évidemment nul. En cas d’un mouvement hausse-baisse ou ba