Introduction à l’Analyse Numérique Ernst Hairer Travaux Pratiques en collaboration avec Assyr Abdulle Université de Genève Section de mathématiques Case postale 240 CH-1211 Genève 24 Octobre 2001 Table des matières I Intégration Numérique I.1 Formules de quadrature et leur ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Etude de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Superconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Formules de quadrature de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6 Un programme adaptatif – TEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.7 L’epsilon-algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 9 10 13 16 19 21 II Interpolation et Approximation II.1 Différences divisées et formule de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Erreur de l’interpolation et polynômes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Convergence de l’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4 Influence des erreurs d’arrondi sur l’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Transformation de Fourier discrète et interpolation trigonométrique . . . . . . . II.6 Transformation de Fourier rapide (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.7 Interpolation par fonctions spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.8 L’erreur du spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 28 33 36 39 44 46 51 54 III Equations Différentielles Ordinaires III.1 Un exemple: problème restreint à trois corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Méthodes de Runge-Kutta