Page 2
Nội dung Chương 0. Mở đầu Chương 1. Bài toán đếm Chương 2. Bài toán tồn tại Chương 3. Bài toán liệt kê tổ hợp Chương 4. Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc 2
Contenu du document
Page 3
Chương 1. BÀI TOÁN ĐẾM 1. Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân 2. Các cấu hình tổ hợp cơ bản 3. Nguyên lý bù trừ 4. Công thức đệ qui 5. Hàm sinh Toán rời rạc 3
Page 4
1. Nguyên lý cộng và Nguyên lý nhân ⚫ Đây là hai nguyên lý cơ bản của tổ hợp, được vận dụng rộng rãi vào việc giải quyết các bài toán đếm ⚫ Còn gọi là Qui tắc cộng và Qui tắc nhân (Sum Rule và Product Rule) Toán rời rạc 4
Page 5
1.1. Nguyên lý cộng (The sum rule) ⚫ NÕu A vμ B lμ hai tËp hîp rêi nhau th× N(A B) = N(A) + N(B). ⚫ Nguyªn lý céng ®îc më réng cho nhiÒu tËp con rêi nhau: NÕu A1, A2, ..., Ak lμ mét ph©n ho¹ch cña tËp hîp X th× N(X) = N(A1) + N(A2) + ... + N(Ak). ⚫ Mét trêng hîp riªng hay dïng cña nguyªn lý céng: NÕu A lμ mét tÝnh chÊt cho trªn tËp X th× N(A) = N(X) - N(Ac). N A( ) = N X( )−N A( ) Toán rời rạc 5
Page 6
Nguyên lý cộng: Ví dụ ⚫ Ví dụ 1. Một đoàn vận động viên gồm 2 môn bắn súng và bơi được cử đi thi đấu ở nước ngoài. Nam có 10 người. Số vận động viên thi bắn súng (kể cả nam và nữ) là 14. Số nữ vận động viên thi bơi bằng số nam vận động viên thi bắn súng. Hỏi toàn đoàn có bao nhiêu người? ⚫ Giải: Chia đoàn thành 2 lớp: nam và nữ. Lớp nữ lại được chia 2: thi bắn súng và thi bơi. Thay số nữ thi bơi bằng số nam thi bắn súng (2 số này bằng nhau theo đầu bài), ta được số nữ bằng tổng số đấu thủ thi bắn súng. Từ đó, theo nguyên lý cộng, toàn đoàn có 10 + 14 = 24 người. Toán rời rạc 6
Page 7
Nguyên lý cộng: Ví dụ ⚫ Ví dụ 2. Trong một đợt phổ biến đề tài tốt nghiệp, Ban chủ nhiệm Khoa công bố danh sách các đề tài bao gồm 80 đề tài về chủ đề "xây dựng hệ thông tin quản lý", 10 đề tài về chủ đề "thiết kế phần mềm dạy học" và 10 đề tài về chủ đề "Hệ chuyên gia". Hỏi một sinh viên có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài? ⚫ Giải: Sinh viên có thể lựa chọn đề tài theo chủ đề thứ nhất bởi 80 cách, theo chủ đề thứ hai bởi 10 cách, theo chủ đề thứ ba bởi 10 cách. Vậy tất cả có 100 cách lựa chọn. Toán rời rạc 7
Page 8
Nguyên lý cộng: Ví dụ ⚫ VÝ dô 3. Hái r»ng gi¸ trÞ cña k sÏ lμ bao nhiªu sau khi ®o¹n ch- ¬ng tr×nh PASCAL sau ®îc thùc hiÖn? n1:=10; n2:=20; n3:=30; k:=0; for i1:= 1 to n1 do k:=k+1; for i2:= 1 to n2 do k:=k+1; for i3:= 1 to n3 do k:=k+1; ⚫ Gi¶i: §Çu tiªn gi¸ trÞ cña k ®îc g¸n b»ng 0. Cã 3 vßng lÆp for ®éc lËp. Sau mçi lÇn lÆp cña mçi mét trong 3 vßng for, gi¸ trÞ cña k t¨ng lªn 1. Vßng for thø nhÊt lÆp 10 lÇn, vßng for thø hai lÆp 20 lÇn, vßng for thø ba lÆp 30 lÇn. VËy, kÕt thóc 3 vßng lÆp for gi¸ trÞ cña k sÏ lμ 10+20+30= 60. Toán rời rạc 8
Page 9
Nguyên lý cộng: Ví dụ ⚫ Ví dụ 4: Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập phân có đúng 3 ký tự là 9? ⚫ Giải: Xâu có thể chứa: • Ký tự khác 9 ở vị trí thứ nhất • hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ hai • hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ ba • hoặc ký tự khác 9 ở vị trí thứ tư • Ta có thể sử dụng qui tắc cộng • Đối với mỗi trường hợp, có 9 khả năng chọn ký tự khác với 9 (bất kể chữ số khác 9 nào trong 9 chữ số 0, 1, ...,8) • Vậy, đáp số là 9+9+9+9 = 36 Toán rời rạc 9
Page 10
1.2. Nguyên lý nhân The product rule ⚫ NÕu mçi thμnh phÇn ai cña bé cã thø tù k thμnh phÇn (a1, a2, ..., ak) cã ni kh¶ n¨ng chän (i = 1, 2, ..., k), th× sè bé sÏ ®îc t¹o ra lμ tÝch sè cña c¸c kh¶ n¨ng nμy n1n2 ... nk. ⚫ Mét hÖ qu¶ trùc tiÕp cña nguyªn lý nh©n: N(A1 A2 ... Ak) = N(A1) N(A2) ... N(Ak), víi A1, A2, ..., Ak lμ nh÷ng tËp hîp nμo ®ã, nãi riªng: N(Ak) = [N(A)]k . Toán rời rạc 10
Page 11
1.2. Nguyên lý nhân The product rule ⚫ Trong nhiÒu bμi to¸n ®Õm, chØ sau khi x©y dùng xong thμnh phÇn thø nhÊt ta míi biÕt c¸ch x©y dùng thμnh phÇn thø hai, sau khi x©y dùng xong hai thμnh phÇn ®Çu ta míi biÕt c¸ch x©y dùng thμnh phÇn thø ba,... Trong tr- êng hîp ®ã cã thÓ sö dông nguyªn lý nh©n tæng qu¸t: ⚫ Gi¶ sö ta x©y dùng bé cã thø tù k thμnh phÇn (a1, a2, ..., ak) theo tõng thμnh phÇn vμ • a cã thÓ chän bëi n c¸ch; • 1 1 Sau khi a1 ®· chän,a2 cã thÓ chän bëi n2 c¸ch; • ... • Sau khi a , a ,...,a ®· chän, a cã thÓ chän bëi n c¸ch; 1 2 k-1 k k ⚫ ThÕ th× sè bé ®îc t¹o ra lμ tÝch sè n1n2 ... nk. Toán rời rạc 11
Page 12
Nguyên lý nhân: Ví dụ ⚫ VÝ dô 1. Tõ Hμ néi ®Õn HuÕ cã 3 c¸ch ®i: m¸y bay, « t«, tμu ho¶. Tõ HuÕ ®Õn Sμi gßn cã 4 c¸ch ®i: m¸y bay, « t«, tμu ho¶, tμu thuû. Hái tõ Hμ néi ®Õn Sμi gßn (qua HuÕ) cã bao nhiªu c¸ch ®i? ⚫ Gi¶i: Mçi c¸ch ®i tõ Hμ néi ®Õn Sμi gßn (qua HuÕ) ®îc xem gåm 2 chÆng: Hμ néi - HuÕ vμ HuÕ - Sμi gßn. Tõ ®ã, theo nguyªn lý nh©n, sè c¸ch ®i tõ Hμ néi ®Õn Sμi gßn lμ 3 4 = 12 c¸ch. Hà nội Huế Sài gòn Toán rời rạc 12
Page 13
Nguyên lý nhân: Ví dụ ⚫ VÝ dô 2. Hái r»ng gi¸ trÞ cña k sÏ lμ bao nhiªu sau khi ®o¹n ch- ¬ng tr×nh PASCAL sau ®îc thùc hiÖn? n1:=10; n2:=20; n3:=30; k:=0; for i1:=1 to n1 do for i2:=1 to n2 do for i3:=1 to n3 do k:=k+1; ⚫ Gi¶i: §Çu tiªn gi¸ trÞ cña k ®îc g¸n b»ng 0. Cã 3 vßng lÆp for lång nhau. Sau mçi lÇn lÆp cña vßng for, gi¸ trÞ cña k t¨ng lªn 1. Vßng for thø nhÊt lÆp 10 lÇn, vßng for thø hai lÆp 20 lÇn, vßng for thø ba lÆp 30 lÇn. VËy, theo nguyªn lý nh©n, kÕt thóc 3 vßng lÆp for lång nhau, gi¸ trÞ cña k sÏ lμ 10 20 30 = 6000. Toán rời rạc 13
Page 14
Nguyên lý nhân: Ví dụ ⚫ Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu lá cờ gồm 3 vạch mầu, mầu của mỗi vạch lấy từ ba mầu xanh, đỏ, trắng sao cho: a) Không có hai vạch liên tiếp nào cùng màu b) Không có hai vạch nào cùng màu ⚫ Giải. Đánh số các vạch của lá cờ bởi 1, 2, 3 từ trên xuống. Trường hợp a) ⚫ Màu của vạch 1 có 3 cách chọn. ⚫ Sau khi màu của vạch 1 đã chọn, màu của vạch 2 có 2 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 1). ⚫ Sau khi màu của hai vạch 1, 2 đã chọn, màu của vạch 3 có 2 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 2). ⚫ Theo nguyên lý nhân số lá cờ cần đếm trong trường hợp a) là 3.2.2=12 Toán rời rạc 14
Page 15
Nguyên lý nhân: Ví dụ 3 (tiếp) Trường hợp b): ⚫ Màu của vạch 1 có 3 cách chọn. ⚫ Sau khi màu của vạch 1 đã chọn, màu của vạch 2 có 2 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 1). ⚫ Sau khi màu của hai vạch 1, 2 đã chọn, màu của vạch 3 có 1 cách chọn (không được chọn lại màu của vạch 1 và 2). ⚫ Theo nguyên lý nhân số lá cờ cần đếm trong trường hợp b) là 3.2.1=6 Toán rời rạc 15
Page 16
Nguyên lý nhân: Ví dụ Ví dụ 4. Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập phân a) không chứa một chữ số nào hai lần? Chúng ta sẽ chọn chữ số vào lần lượt từng vị trí • Ký tự thứ nhất có 10 cách chọn • Ký tự thứ hai có 9 cách (không chọn lại chữ số đã chọn vào vị trí thứ nhât) • Ký tự thứ ba có 8 cách chọn • Ký tự thứ tư có 7 cách chọn Tổng cộng có 10*9*8*7 = 5040 xâu cần đếm. b) kết thúc bởi chữ số chẵn? Ba ký tự đầu tiên mỗi ký tự có 10 cách chọn Ký tự cuối cùng có 5 cách chọn Tổng cộng có 10*10*10*5 = 5000 xâu cần đếm. Toán rời rạc 16
Page 17
Các ví dụ phức tạp hơn ⚫ Khi nào sử dụng qui tắc cộng? ⚫ Khi nào sử dụng qui tắc nhân? ⚫ Ta có thể sử dụng phối hợp cả qui tắc cộng và qui tắc nhân ⚫ Bằng cách đó ta có thể giải được nhiều bài toán thú vị và phức tạp hơn Toán rời rạc 17
Page 18
Chụp ảnh đám cưới Xét bài toán: Có 10 người tham gia vào việc chụp ảnh kỷ niệm ở một đám cưới, trong đó có cô dâu và chú rể. Ta xét bức ảnh chỉ gồm 6 người trong họ. a) Có bao nhiêu bức ảnh trong đó có mặt cô dâu? Qui tắc nhân: Xếp chỗ cho cô dâu VÀ sau đó xếp chỗ cho những nhân vật còn lại trong bức ảnh. Trước hết xếp chỗ cho cô dâu: Cô dâu có thể đứng ở 1 trong 6 vị trí Tiếp đến, xếp 5 nhân vật còn lại của bức ảnh nhờ sử dụng qui tắc nhân: Có 9 người để chọn nhân vật thứ hai, 8 người để chọn nhân vật thứ ba, ... Tổng cộng có 9*8*7*6*5 = 15120 cách xếp 5 nhân vật còn lại của bức ảnh. Qui tắc nhân cho ta 6 * 15120 = 90 720 bức ảnh Toán rời rạc 18
Page 19
Chụp ảnh đám cưới b) Có thể chụp bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt cả cô dâu lẫn chú rể? Qui tắc nhân: Xếp dâu/rể VÀ sau đó xếp những nhân vật còn lại trong bức ảnh Trước hết xếp dâu và rể • Cô dâu có thể xếp vào 1 trong 6 vị trí • Chú rể có thể xếp vào 1 trong 5 vị trí còn lại • Tổng cộng có 30 khả năng Tiếp theo, xếp chỗ cho 4 nhân vật còn lại trong bức ảnh theo qui tắc nhân • Có 8 người để chọn nhân vật thứ ba, 7 người để chọn nhân vật thứ tư, ... • Tổng cộng có 8*7*6*5 = 1680 Theo qui tắc nhân có 30 * 1680 = 50 400 bức ảnh Toán rời rạc 19
Page 20
Chụp ảnh đám cưới c) Có bao nhiêu bức ảnh mà trong đó có mặt chỉ một người trong cặp tân hôn? Qui tắc cộng: Chỉ xếp cô dâu • Qui tắc nhân: xếp cô dâu và sau đó xếp các nhân vật còn lại • Trước hết xếp cô dâu: Cô dâu có thể đứng ở một trong 6 vị trí • Tiếp đến, xếp những nhân vật khác theo qui tắc nhân: Có 8 người để chọn nhân vật thứ hai, 7 để chọn nhân vật thứ ba, v.v. (Ta không được chọn chú rể!) Tổng cộng = 8*7*6*5*4 = 6720 • Qui tắc nhân cho 6 * 6720 = 40 320 khả năng ⚫ hoặc chỉ xếp chú rể • Số lượng khả năng cũng giống như cô dâu: 40 320 Qui tắc cộng cho 40 320 + 40 320 = 80 640 khả năng Toán rời rạc 20
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !