Page 2
⚫ Nguyễn Đức Nghĩa ⚫ Bộ môn Khoa học Máy tính ⚫ Đại học Bách khoa Hà nội ⚫ Tel: 0438696121 (Off), 0903210111 (Mob) ⚫ nghiand@it-hut.edu.vn Toán rời rạc 2
Document content
Page 4
Toán rời rạc là gì? ⚫ What is discrete mathematics? • Là bộ phận của toán học nghiên cứu các đối tượng rời rạc. • Rời rạc bao hàm ý các phần tử phân biệt hay không liên tục. • Các phép toán: • Tổ hợp: Đếm các đối tượng rời rạc • Các phép toán logic, quan hệ: nói lên mối quan hệ giữa các đối tượng rời rạc • Làm việc với: Các đối tượng rời rạc: tập hợp, mệnh đề. Toán rời rạc 4
Page 5
Định nghĩa hình thức - Wikipedia ⚫ Discrete mathematics, sometimes called finite mathematics, is the study of mathematical structures that are fundamentally discrete, in the sense of not supporting or requiring the notion of continuity. Most, if not all, of the objects studied in finite mathematics are countable sets, such as the integers. ⚫ Discrete mathematics has become popular in recent decades because of its applications to computer science. Concepts and notations from discrete mathematics are useful to study or express objects or problems in computer algorithms and programming languages. In some mathematics curricula, finite mathematics courses cover discrete mathematical concepts for business, while discrete mathematics courses emphasize concepts for computer science majors. ⚫ Discrete mathematics usually includes : • logic - a study of reasoning • set theory - a study of collections of elements • number theory • combinatorics - a study of counting • graph theory • algorithmics - a study of methods of calculation • information theory • the theory of computability and complexity - a study on theoretical limitations on algorithms … Toán rời rạc 5
Page 6
Nhập môn Toán rời rạc ⚫ Các ứng dụng của TRR: • Formal Languages (computer languages) • Machine translation • Compiler Design • Artificial Intelligence • Relational Database Theory • Network Routing • Algorithm Design • many more (almost all areas of computer science)… A building block of computer science ! Toán rời rạc 6
Page 7
Nhập môn Toán rời rạc ⚫ Các vấn đề chính được đề cập trong giáo trình này: • Cơ sở: logic, tập hợp, ánh xạ. • Lý thuyết tổ hợp (Combinatorial Theory) • Bài toán đếm • Bài toán tồn tại • Bài toán liệt kê • Bài toán tối ưu • Lý thuyết đồ thị (Graph theory): • Đồ thị, Đường đi, Liên thông • Biểu diễn đồ thị • Duyệt đồ thị • Các bài toán tối ưu trên đồ thị Toán rời rạc 7
Page 8
Tài liệu tham khảo 1. Rosen K.H. Discrete Mathematics and its Applications. McGraw - Hill Book Company, 2003. 2. Johnsonbaugh R. Discrete Mathematics. Prentice Hall Inc., N. J., 1997. 3. Grimaldi R.P. Discrete and Combinatorial Mathematics (an Applied Introduction), Addison- Wesley, 5th edition, 2004. 4. R. Graham, O. Patashnik, and D.E. Knuth. Concrete Mathematics, Second Edition. Addison- Wesley, 1994. 8
Page 9
Tài liệu tham khảo 5. Phan Đình Diệu. Lý thuyết ôtômat hữu hạn và thuật toán. NXB ĐHTHCN, Hà nội, 1977. 6. Nguyễn Hữu Anh. Toán rời rạc, NXB Giáo dục,1999. 7. Nguyễn Xuân Quỳnh. Cơ sởToán rời rạc và ứng dụng. NXB KHKT, Hà nội, 1996. 8. Đỗ Đức Giáo. Toán rời rạc. NXB KHKT, Hà nội, 2001. 9. Hoàng Chúng. Đại cương về toán hữu hạn. NXB Giáo dục, 1997. 9
Page 10
Rosen’s Book http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/index.mhtml Rosen K.H. Discrete Mathematics and its Applications. 5th Edition, McGraw - Hill Book Company, 2003. 10
Page 11
Table of Contents Preface To the Student 6 Relations The Companion Web Site Relations and Their Properties, n-ary Relations and Their 1 The Foundations: Logic, Sets, and Functions Applications, Representing Relations, Closures of Logic, Propositional Equivalences, Predicates Relations, Equivalence Relations, Partial Orderings and Quantifiers, Sets, Set Operations, 7 Graphs Functions, Sequences and Summations, The Introduction to Graphs, Graph Terminology, Growth Functions Representing Graphs and Graph Isomorphism, 2 The Fundamentals: Algorithms, the Integers, Connectivity, Euler and Hamilton Paths, Shortest Path and Matrices Algorithms, Complexity of Algorithms, The Problems, Planar Graphs, Graph Coloring Integers and Division, Integers and Algorithms, 8 Trees Applications of Number Theory, Matrices Introduction to Trees , Applications of Trees, Tree 3 Mathematical Reasoning Traversal,Trees and Sorting, Spanning Trees, Minimum Methods of Proof, Mathematical Induction, Spanning Trees Recursive Definitions, Recursive Algorithms, 9 Boolean Algebra Program Correctness Boolean Functions, Representing Boolean Functions, 4 Counting Logic Gates, Minimization of Circuits The Basics of Counting, The Pigeonhole 10 Modeling Computation Principle, Permutations and Combinations, Discrete Probability, Probability Theory , Languages and Grammars, Finite-State Machines with Output, Generalized Permutations and Combinations, Finite-State Machines with No Output, Language Recognition, Generating Permutations and Combinations Turing Machines 5 Advanced Counting Techniques Appendixes Recurrence Relations, Solving Recurrence Suggested Readings Relations, Divide-and-Conquer Relations, Solutions to Odd-Numbered Exercises Generating Functions, Inclusion-Exclusion, Applications of Inclusion-Exclusion Index of Biographies Index 11
Page 13
Table of Contents 1 Logic and Proofs 7 Recurrence Relations 1.1 Propositions 7.1 Introduction 1.2 Conditional Propositions and Logical Equivalence 7.2 Solving Recurrence Relations 1.3 Quantifiers 7.3 Applications to the Analysis of Algorithms 1.4 Nested Quantifiers 8 Graph Theory 1.5 Proofs 8.1 Introduction 1.6 Resolution Proofs 8.2 Paths and Cycles 1.7 Mathematical Induction 8.3 Hamiltonian Cycles and the TSP 1.8 Strong Form of Induction and the Well-Ordering Property 8.4 Shortest-Path Algorithm 2 The Language of Mathematics 8.5 Representations of Graphs 2.1 Sets 2.2 Functions 2.3 Sequences and Strings 9 Trees 3 Relations 9.1 Introduction 3.1 Relations 3.2 Equivalence Relations 9.2 Terminology and Characterizations of Trees 3.3 Matrices of Relations 3.4 Relational Databases 9.3 Spanning Trees 4 Algorithms 9.4 Minimal Spanning Trees 4.1 Introduction 4.2 Examples of Algorithms 9.5 Binary Trees 4.3 Analysis of Algorithms 4.4 Recursive Algorithms 9.6 Tree Traversals 5 Introduction to Number Theory 9.7 Decision Trees and the Minimum Time for Sorting 5.1 Divisors 9.8 Isomorphisms of Trees 5.2 Representations of Integers and Integer Algorithms 9.9 Game Trees 5.3 The Euclidean Algorithm 10 Network Models 5.4 The RSA Public-Key Cryptosystem 10.1 Introduction 6 Counting Methods and the Pigeonhole Principle 10.2 A Maximal Flow Algorithm 6.1 Basic Principles 10.3 The Max Flow, Min Cut Theorem 6.2 Permutations and Combinations 10.4 Matching 6.3 Algorithms for Generating Permutations and Combinations 11 Boolean Algebras and Combinatorial Circuits 6.6 Generalized Permutations and Combinations 12 Automata, Grammars, and Languages 6.7 Binomial Coefficients and Combinatorial Identities 13 Computational Geometry 6.8 The Pigeonhole Principle Appendix Index 13
Page 14
Grimadi’s Book Grimaldi R.P. Discrete and Combinatorial Mathematics (an Applied Introduction), Addison-Wesley, 5th edition, 2001. 14
Page 15
Table of Contents PART 1. FUNDAMENTALS OF DISCRETE MATHEMATICS. Derangements: Nothing Is in Its Right Place. 1. Fundamental Principles of Counting. Rook Polynomials. The Rules of Sum and Product. Arrangements with Forbidden Positions. Permutations. Combinations: The Binomial Theorem. 9. Generating Functions. Combinations with Repetition. Introductory Examples. 2. Fundamentals of Logic. Definition and Examples: Calculational Techniques. 3. Set Theory. Partitions of Integers. Sets and Subsets. 10. Recurrence Relations. Set Operations and the Laws of Set Theory. Counting and Venn Diagrams. PART 3. GRAPH THEORY AND APPLICATIONS. A First Word on Probability. 11. An Introduction to Graph Theory. 4. Properties of the Integers: Mathematical Induction. Definitions and Examples. The Well-Ordering Principle: Mathematical Induction. Subgraphs, Complements, and Graph Isomorphism. Recursive Definitions. Vertex Degree: Euler Trails and Circuits. The Division Algorithm: Prime Numbers. Planar Graphs. Hamilton Paths and Cycles. The Greatest Common Divisor: The Euclidean Algorithm. 12. Trees. The Fundamental Theorem of Arithmetic. Definitions, Properties, and Examples. 5. Relations and Functions. Rooted Trees. Trees and Sorting. Cartesian Products and Relations. Weighted Trees and Prefix Codes. Functions: Plain and One-to-One. Biconnected Components and Articulation Points. Onto Functions: Stirling Numbers of the Second Kind. 13. Optimization and Matching. Special Functions. Dijkstra's Shortest Path Algorithm. The Pigeonhole Principle. Minimal Spanning Trees: The Algorithms of Kruskal and Prim. Function Composition and Inverse Functions. Transport Networks: The Max-Flow Min-Cut Theorem. Computational Complexity. Matching Theory. Analysis of Algorithms. 6. Languages: Finite State Machines. PART 4. MODERN APPLIED ALGEBRA. 7. Relations: The Second Time Around. 14. Rings and Modular Arithmetic. PART 2. FURTHER TOPICS IN ENUMERATION. 15. Boolean Algebra and Switching Functions. 8. The Principle of Inclusion and Exclusion. 16. Groups, Coding Theory, and Polya's Theory of Enumeration. The Principle of Inclusion and Exclusion. 17. Finite Fields and Combinatorial Designs. 15
Page 16
Graham, Knuth, Patashnik’s Book Ronald L. Graham Donald E. Knuth Oren Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley Professional 1994, 672 pp 16
Page 17
Table of Contents 1. Recurrent Problems. 6. Special Numbers. The Tower of Hanoi. Stirling Numbers. Lines in the Plane. Eulerian Numbers. The Josephus Problem. Harmonic Numbers. 2. Sums. Harmonic Summation. Notation. Bernoulli Numbers. Sums and Recurrences. Fibonacci Numbers. Manipulation of Sums. Continuants. Multiple Sums. 7. Generating Functions. General Methods. Domino Theory and Change. Finite and Infinite Calculus. Basic Maneuvers. Infinite Sums. Solving Recurrences. 3. Integer Functions. Special Generating Functions. Floors and Ceilings. Convolutions. Floor/Ceiling Applications. Exponential Generating Functions. Floor/Ceiling Recurrences. Dirichlet Generating Functions. 'mod': The Binary Operation. 8. Discrete Probability. Floor/Ceiling Sums. Definitions. 4. Number Theory. Mean and Variance. Divisibility. Probability Generating Functions. Factorial Factors. Flipping Coins. Relative Primality. Hashing. 'mod': The Congruence Relation. 9. Asymptotics. Independent Residues. A Hierarchy. Additional Applications. O Notation. Phi and Mu. O Manipulation. 5. Binomial Coefficients. Two Asymptotic Tricks. Basic Identities. Basic Practice. Tricks of the Trade. Euler's Summation Formula. Generating Functions. Final Summations. Hypergeometric Functions. A. Answers to Exercises. Hypergeometric Transformations. B. Bibliography. C. Credits for Exercises. 17
Page 18
Tài liệu tham khảo chính Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành TOÁN RỜI RẠC (in lần thứ ba) Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội, 2003, 290 trang 18
Page 19
Mục lục PhÇn I. Lý thuyÕt Tæ hîp PhÇn 2. Lý thuyÕt ®å thÞ Chương 1. Mở đầu Chương 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị 1.1 Sơ lược về tổ hợp 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.2 Nhắc lại lý thuyết tập hợp 1.2 Các thuật ngữ cơ bản 1.3 Một số nguyên lý cơ bản 1.3 Đường đi, Chu trình, Đồ thị liên thông 1.4 Các cấu hình tổ hợp đơn giản 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Chương 2. Bài toán đếm Chương 2. Biểu diễn đồ thị trên máy tính 2.1 Giới thiệu bài toán 2.1 Ma trận kề. Ma trận trọng số, 2.2 Danh sách cạnh 2.3 Danh 2.2 Nguyên lý bù trừ sách kề 2.3 Quy về các bài toán đơn giản Chương 3. Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị và ứng dụng 2.4 Công thức truy hồi 3.1 Tìm kiếm theo chiều sâu trên đồ thị 2.5 Liệt kê 3.2 Tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị Chương 3. Bài toán tồn tại 3.3 Tìm đường đi và kiểm tra tính liên thông 3.1 Giới thiệu bài toán Chương 4. Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton 3.2 Phương pháp phản chứng 4.1 Đồ thị Euler 4.2 Đồ thị Hamilton 3.3 Nguyên lý Dirichlet Chương 5. Cây và cây khung của đồ thị 3.4 Hệ đại diện phân biệt 5.1 Cây và các tính chất của cây Chương 4. Bài toán liệt kê 5.2 Cây khung của đồ thị 4.1 Giới thiệu bài toán 5.3 Xây dựng tập các chu trình cơ bản của đồ thị 4.2 Thuật toán và độ phức tạp tính toán 5.4 Bài toán cây khung nhỏ nhất 4.3 Phương pháp sinh Chương 6. Bài toán đường đi ngắn nhất 4.4 Thuật toán quay lui Chương 7. Bài toán luồng cực đại trong mạng Chương 5. Bài toán tối ưu 5.1 Phát biểu bài toán PhÇn 3. Hμm ®¹i sè l«gic 5.2 Các thuật toán duyệt Chương 1. Mở đầu 5.3 Thuật toán nhánh cận giải bài toán người du lịch Chương 2. Dạng tuyển chuẩn tắc của hàm đại số lôgic 5.4 Bài toán lập lịch gia công trên hai máy Chương 3. Thuật toán tìm dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu Tài liệu tham khảo 19
Showing the first 19 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!