Đề 4: Toán học và xử lý số liệu HSA

1. Frage 1

   Cho hàm số $y=\frac{2 x+1}{x-2}$ có đồ thị $(C)$. Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đồ thị $(C)$ mà tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{2}{5}$ ?

   A

   4

   B

   5

   C

   2

   D

   3

   Lösungen ansehen

   Lösung: C

   Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{0}$ là: $y=\frac{-5}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{2 x_{0}+1}{x_{0}-2}$

   Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là $A\left(\frac{2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2}{5} ; 0\right), B\left(0 ; \frac{\left.2 x_{0}^{2}+2 x_{0}-2\right)}{\left(x_{0}-2\right)^{2}}\right)$

   Do đó diện tích tam giác $S_{\Delta O A B}=\frac{1}{2} . O A . O B=\frac{\left(2 x_{0}{ }^{2}+2 x^{0}-2\right)}{10(x-2)^{2}}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow{ }_{0}^{x=1}{ }_{x}^{x_{0}=-3}$

   Vậy có 2 điểm thỏa mãn

2. Frage 2

   Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(C)$ của hàm số : $y=\frac{-x^{3}}{m}+3 m x^{2}-2$ có điểm uốn nằm trên đường parabol $(P): y=2 x^{2}-2 ?$

   A

   $m=0$

   B

   $m=2$

   C

   $m=1$

   D

   $m=-2$

   Lösungen ansehen

   Lösung: C

   Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho từ trước, từ đó suy ra giá trị của tham số

3. Frage 3

   Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số : $y=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}$ là?

   A

   $y=2 x$

   B

   $y=2 x+1$

   C

   $y=x$

   D

   $y=-x$

   Lösungen ansehen

   Lösung: C

   Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên

   Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng : $y=\mathrm{ax}+\mathrm{b}(a \neq 0)$

   Τa có:

   $a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x_{3}}{x\left(x^{2}-1\right)}=1$

   $b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{x_{3}}{x^{2}-1}-x\right)=0$

   Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: $y=x$

4. Frage 4

   Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn bất đẳng thức sau đây $\log \frac{x+1}{3 y+1} \leq 9 y^{4}+6 y^{3}-x^{2} y^{2}-2 y^{2} x$.

   Biết $y \leq 1000$. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x ; y)$ thỏa mãn bất đẳng thức trên?

   A

   1501100

   B

   1501300

   C

   1501400

   D

   1501500

   Lösungen ansehen

   Lösung: D

   Phương pháp giải
   Dùng hàm đặc trưng
   Lời giải
   Ta có: $log_{3y+1} \frac{x+1}{3y+1} \le 9y^4 + 6y^3 - x^2y^2 - 2y^2x$
   $\Leftrightarrow log \frac{xy+y}{3y^2+y} \le (9y^4+6y^3+y^2) - (x^2y^2+2xy.y+y^2)$
   $\Leftrightarrow log(xy+y) - log(3y^2+y) \le (3y^2+y)^2 - (xy+y)^2$
   $\Leftrightarrow log(xy+y) + (xy+y)^2 \le log(3y^2+y) + (3y^2+y)^2$
   Xét hàm : $f(t) = log t + t^2$ với $t \in (0;+\infty)$
   $f'(t) = \frac{1}{tln10} + 2t > 0 \forall t \in (0;+\infty) \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$
   $\Rightarrow f(xy+y) \le f(3y^2+y) \Leftrightarrow xy+y \le 3y^2+y \Leftrightarrow x \le 3y$
   Vì $y \le 1000$ nên ta có các trường hợp sau:
   $y=1 \Rightarrow x \in \{1;2;3\}$
   $y=2 \Rightarrow x \in \{1;2;3;4;5;6\}$
   .........
   $y=1000 \Rightarrow x \in \{1;2;3;....;3000\}$
   Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $3+6+9+...+3000=1501500$

5. Frage 5

   Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện $0 \leq y \leq 100$ và $x^{6}+6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-19 y^{3}+3 x^{2}-3 y=0 ?$

   A

   10

   B

   100

   C

   20

   D

   21

   Lösungen ansehen

   Lösung: D

   Sử dụng hàm đặc trưng
   Lời giải
   $x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 - 19y^3 + 3x^2 - 3y = 0$
   $\Leftrightarrow x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 + 8y^3 - 27y^3 + 3x^2 - 3y = 0$
   $\Leftrightarrow x^6 + 6x^4 y + 12x^2 y^2 + 8y^3 + 3x^2 + 6y = 27y^3 + 9y$
   $\Leftrightarrow (x^2 + 2y)^3 + 3(x^2 + 2y) = (3y)^3 + 3.3y (*)$
   Xét hàm số: $f(t) = t^3 + 3t$
   Ta có : $f'(t) = 3t^2 + 3 > 0 \forall t \in \mathbb{R}$
   $\Rightarrow f(t)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$
   Vì vậy $(*) \Leftrightarrow f(x^2 + 2y) = f(3y) \Leftrightarrow x^2 + 2y = 3y \Leftrightarrow x^2 = y$
   Theo giả thiết ta có : $0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le x^2 \le 100 \Leftrightarrow -10 \le x \le 10$
   Vì $x$ nguyên nên $x \in \{-10;-9;-8;...;8;9;10\}$, với mỗi $x$ xác định duy nhất giá trị $y = x^2$.
   Vậy có 21 cặp $(x;y)$ thỏa mãn bài toán.

Bearbeiten Sie alle 51 Fragen, um bewertet zu werden und die ausführlichen Lösungen zu sehen.