CHƯƠNG 4: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Nguyên hàm của hàm số 2. Tích phân bất định 3. Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản 4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định 5. Tích phân của các hàm hữu tỉ CHƯƠNG 4: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Nguyên hàm của hàm số Định nghĩa: Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng X nếu: F ( x)  f ( x), x  X Ví dụ: Hàm số sinx là một nguyên hàm của hàm số cosx trên . Định lí: Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên khoảng X thì 1) F ( x)  C là một nguyên hàm của f ( x) trên X. 2) Mọi nguyên hàm của f ( x) đều có dạng F ( x)  C. 1 §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2. Tích phân bất định Định nghĩa: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng X được gọi là tích phân bất định của hàm số f ( x), kí hiệu là Vậy  f ( x)dx  f ( x)dx  F ( x)  C trong đó F ( x) là một nguyên hàm của f (x) trên X, Tính chất: Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a, b] thì f (x) có nguyên hàm trên [a, b] và   f ( x)  g  x  dx   f  x  dx   g ( x)dx   f ( x)dx    f  x  dx (  ) 2 §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH    f ( x)dx   f ( x) d (  f ( x)dx)  f ( x)dx Nếu  f ( x)dx  F ( x)  C thì  f (u)du  F (u)  C với u  u ( x) là hàm số của x (u có đạo hàm liên tục). 3. Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản  0dx  C 1  1  x dx    1 x  C dx  x  ln x  C  3 §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH  dx  ln a  C  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C 1  cos2 x dx  tgx  C 1  sin 2 x dx   cot gx  C 4 §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1  1  x 2 dx  arctgx  C  arccotgx  K 1  1  x dx  arcsin x  C  arccosx  K  x 2  a 2  a arctg a  C  dx x  arcsin  C a a2  x2 5 §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH dx 1 ax  a 2  x 2  2a ln a  x  C dx  x a 2  ln x  x 2  a  C a  x dx  a  x  arcsin  C x  a dx  x  a  ln x  x 2  a  C §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 4. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân bất định A. Phương pháp đổi biến số: X