CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG  Euclide là người đầu tiên đã trình bày toán học một cách hệ thống trong bộ sách "Cơ sở", trong đó Euclide đã xây dựng môn hình học chỉ dựa trên năm CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH 6.1.1 Định nghĩa dạng song tuyến tính tiên đề.  Không gian Euclide ban đầu được hiểu như là không gian thực 3 chiều với Một dạng song tuyến tính của không gian véc tơ V là một ánh xạ  : V V   R (u, v )  (u, v ) hệ tiên đề Euclide.  Sự mở rộng sang không gian nhiều chiều xuất phát từ những công trình của Banach (1892-1945), nhà toán học Ba Lan. sao cho khi cố định mỗi biến thì nó trở thành ánh xạ tuyến tính đối với  Không gian véc tơ Euclide là một không gian véc tơ với tích vô hướng. biến kia. Nghĩa là  Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phương là hai nội dung chính của 1, 2 , 1, 2  R chương này. (1u1  2u2 , v )  1(u1, v )  2(u2, v )  Dạng toàn phương được sử dụng trong bài toán bình phương cực tiểu, trong quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, (u, 1v1  2v2 )  1(u, v1 )  2 (u, v2 ) khảo sát cực trị của hàm nhiều biến. 1 11/08/2023 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG i. Đối xứng 11/08/2023 2 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 2 x  (x1, x 2 ), y  (y1, y2 ) ; 1(x, y )  2x1y1  5x1y2  x 2y1  7x 2y2 Nếu (u,v)  (v,u) với mọi u,v V. có tính chất 1(x, y )  1(y, x ) ii. Không âm Nếu (u,u)  0 với mọi u V. 1(x , x )  2x12  4x1x 2  7x 22  2(x1  x 2 )2  5x 22 . iii. Không dương Nếu (u,u)  0 với mọi u V. iv. Xác định (u,u)  0 khi và chỉ khi u  0. Do đó 1 là một dạng song tuyến tính xác định dương nhưng không đối xứng.  Dạng song tuyến tính xác định và không âm gọi là xác định dương. 2 2 Ánh xạ 2 : R  R  R xác định như sau  Vậy  xác định dương khi và chỉ khi (u,u)  0 với mọi u  0.  Một dạng song tuyến tính đối xứng