Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập LUYỆN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG V : KHÔNG GIAN EUCLID I, Trắc nghiệm : Câu 1. Cho V là một không gian véc tơ trên trường K. Ta có ánh xạ f được gọi là dạng song tuyến tính trên V . Trong các khẳng định sau: f : V ×V → K (u, v) 7→ f (u, v) 1) f (u + v, w) = f (u, w) + f (v, w)∀u, v, w ∈ V ; 2) f (λ u, v) = λ f (u, v), ∀u, v ∈ V, λ ∈ K; 3) f (u, v + w) = f (u, v) + f (u, w), ∀u, v, w ∈ V ; 4) f (u, λ v) = λ f (u, v), ∀u, v ∈ V, λ ∈ K. Số khẳng định đúng là: ⃝ A. 1 ⃝ C. 3 ⃝ B. 2 ⃝ D. 4 Đáp án: D Câu 2. Cho ma trận đối xứng A là ma trận 3 × 3 với các phần tử:    2 1 0  A= 1 3 1  0 1 2 Dạng toàn phương tương ứng Q(x) = x⊤ Ax có thuộc loại nào dưới đây? ⃝ A. Dạng toàn phương dương ⃝ C. Dạng toàn phương không xác định ⃝ B. Dạng toàn phương âm ⃝ D. Dạng toàn phương nửa dương Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) Để xác định loại của dạng toàn phương, chúng ta cần tìm các giá trị riêng của ma trận A. +) Xét phương trình đặc trưng det(A − λ I) = 0, ta có: 1 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập  2−λ det(A − λ I) = det  1 3−λ 1   = 0 ⇔ (2 − λ ) .(3 − λ ) − 2.(2 − λ ) = 0 λ =2    ⇔ λ = 1 ⇒ Dạng toàn phương Q(x) là dạng toàn phương dương.    λ = 4 Câu 3. Cho ma trận đới xứng A là ma trận n × n với các giá trị riêng λ1 , λ2 , . . . , λn và định thức det(A). Tính chất nào sau đây là đúng khi dạng toàn phương Q(x) = xT Ax có thể là dương xác định với mọi x ̸= 0 ? ⃝ A. A phải là ma trận đối xứng và det(A) > ⃝ C. A phải là ma trận đới xứng và tất cả 0. các giá trị riêng của A đều dương. ⃝ B. A phải là ma trận đới xứng và tất cả ⃝ D. A không cần phải là ma trận đới xứng; chi cần det(A) ̸= 0. các giá trị riêng của A đều âm. Đáp án: C [Hướng dẫn giải] +) A phải là ma trận đới xứng và tất cả các giá trị riêng của A đều dương. Câu 4. Cho ma trận đới xứng A là ma trận 4 × 4 với các giá trị riêng là λ1 = 3, λ2 = 2, λ3 = −1, và λ4 = −2. Nếu x là vector bất kỳ trong R4 , thì dạng toàn phương Q(x) = xT A