Đề thi Giải tích 3 – CK 20193 – nhóm ngành 2 Lời giải: Nguyễn Tiến Được Câu 1: ∞ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑎) ∑ ( ) . 𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 lim ( ) 𝑛→∞ 𝑛 + 3 𝑛+3 𝑛=1 𝑛+3 3𝑛 3𝑛 −3 −3 .(−𝑛+3) = lim (1 + = lim 𝑒 −𝑛+3 = 𝑒 −3 ≠ 0 ) 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛+3 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 𝑏) 1 1 ∞ (1 − cos ) (1 − cos ) √𝑛 . 𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 √𝑛 ≥ 0 ∀𝑛 ≥ 1 ∑ √𝑛 √𝑛 𝑛=1 1 (1 − cos ) √𝑛 ~ 1 . 1 . 1 = 1 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞ 3 2 𝑛 √𝑛 √𝑛 2𝑛2 ∞ 𝑀à ∑ 1 3 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑛=1 2𝑛2 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 ℎộ𝑖 𝑡ụ Câu 2 ∞ (−1)𝑛 𝑛 4𝑥 + 1 𝑛 4𝑥 + 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 ∑ 2 ( ) . Đặ𝑡 𝑡 = 𝑛 + 2 4𝑥 − 1 4𝑥 − 1 𝑛=1 ∞ (−1)𝑛 𝑛 𝑛 𝑡 𝑐ó 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑙à ∑ 2 𝑛 +2 𝑛=1 (𝑛 + 1)2 + 2 𝑛 lim | . |=1 𝑛→∞ 𝑛2 + 2 𝑛+1 ∞ (−1)𝑛 𝑛 +) 𝑇ạ𝑖 𝑡 = 1 → ∑ 2 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑎𝑛 𝑑ấ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧 𝑛 +2 𝑛=1 +) 𝑇ạ𝑖 𝑡 = −1 ∞ →∑ 𝑛=1 𝑛 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶𝑆𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎 𝑛2 + 2 → 𝑀𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ − 1 < 𝑡 ≤ 1 → −1 < 4𝑥 + 1 1 ≤ 1 (𝑥 ≠ ) 4𝑥 − 1 4 8𝑥 1 >0 𝑥 < ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 < 0 4 → {4𝑥 − 1 4𝑥 − 1 4 1 𝑉ậ𝑦 𝑚𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑐ầ𝑛 𝑡ì𝑚 𝑙à 𝑥 ∈ (−∞; ) 4 Câu 3: 𝑥2 − 1 𝑓(𝑥) = 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑐ủ𝑎 (𝑥 − 1) 𝑥+2 𝑡 2 + 2𝑡 1 Đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 − 1 → 𝑓(𝑡) = = (𝑡 + 2) ( ) 3 𝑡+3 → 𝑓(𝑡) = (𝑡 + 2). ∑ (−1)𝑛 ( ) 𝑣ớ𝑖 | | < 1 𝑡 𝑡 𝑛=0 ∞ ℎ𝑎𝑦 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) ∑ (−1)𝑛 . 3𝑛 . (𝑥 − 1)−𝑛 𝑣ớ𝑖 | 𝑛=0 1 1 |< 𝑥−1 3 𝐶â𝑢 4: 𝐿{(𝑒 −𝑡 − 𝑡)2 } = 𝐿{𝑒 −2𝑡 − 2𝑒 −𝑡 𝑡 + 𝑡 2 } = 𝑠 + 2 (𝑠 + 1) 𝑠 𝐶â𝑢 5: 𝑎) 𝑦 ′ − tan 𝑥 𝑦 = 1 cos 𝑥 1 𝑒 ∫ − tan 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶) cos 𝑥 1 1 (𝑥 + 𝐶) → 𝑦 = 𝑒 −ln | cos 𝑥| (∫ 𝑒 ln | cos 𝑥| 𝑑𝑥 + 𝐶) = cos 𝑥 cos 𝑥 𝑥 𝐶 𝑉𝑎𝑎𝑦𝑗 𝑃𝑇 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 = + cos 𝑥 cos 𝑥 ′′ 𝑏) 𝑦 + 4𝑦 = 3 sin 𝑥 𝑋é𝑡 𝑃𝑇 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡 𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0 𝑐ó 𝑃𝑇 đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔 𝑘 2 + 4 = 0 → 𝑘 = ±2𝑖 → 𝑦̅ = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥 𝑓(𝑥) = 3 sin 𝑥 𝑐ó ± 𝑖 𝑘𝑜 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑃𝑇 đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔 → 𝑦 ∗ = 𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 co